Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
integral0^1 integralraizy^1 d x d y

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver essa integral dupla integral0^1 integralraizy^1 dx , dy. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e, especificamente, a troca da ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem a região no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de raizy a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde x começa na curva x = raizy e vai até x = 1, para y entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que x seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 até x^2 (já que x = raizy implica y = x^2).

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica:
integral0^1 integral0^x^2 dy , dx
Agora, vamos calcular ambas as integrais para verificar se o resultado é o mesmo.

Passo 5

Primeiro, calculando a integral original:
integral0^1 integralraizy^1 dx , dy = integral0^1 (1 - raizy) , dy = [ y - 23y^3/2 ]0^1 = 1 - 23 = 13
Agora, calculando a integral invertida:
integral0^1 integral0^x^2 dy , dx = integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13
Ambas as integrais resultam em 13, confirmando que a troca da ordem de integração está correta.

Resposta

A integral dupla invertida é integral0^1 integral0^x^2 dy , dx e ambas as integrais calculam um valor final de 13.

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