Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo. Verifique o resultado, calculando ambas as integrais
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver essa integral dupla
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e, especificamente, a troca da ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem a região no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Isso significa que estamos integrando sobre uma área onde
começa na curva
e vai até
, para
entre
e
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região,
varia de
a
. Para cada
,
varia de
até
(já que
implica
).
Passo 4
Com os novos limites, a integral invertida fica:
Agora, vamos calcular ambas as integrais para verificar se o resultado é o mesmo.
Passo 5
Primeiro, calculando a integral original:
Agora, calculando a integral invertida:
Ambas as integrais resultam em
, confirmando que a troca da ordem de integração está correta.
Resposta
A integral dupla invertida é
e ambas as integrais calculam um valor final de
.