Encontre o comprimento da curva
y=1-e^-x, x in[0,2].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva definida por y = 1 - e^{-x} no intervalo x\in[0,2]. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma função y=f(x) e vamos precisar da derivada de y e da fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Calcula-se a derivada de y em relação a x. Como y = 1 - e^{-x}, então
y' = ddx(1 - e^-x) = e^-x

Passo 3

Usamos a fórmula do comprimento de arco de y=f(x) de x=a até x=b:
L = integrala^b raiz1 + (f'(x))^2,dx

Passo 4

Substituindo f’(x)=e^{-x} e os limites a=0, b=2, ficamos com
L = integral0^2 raiz1 + e^-2x,dx

Passo 5

Para simplificar o integrando, note que
raiz1 + e^-2x = raize^2x + 1e^xEntão
L = integral0^2 raize^2x + 1e^x,dx

Passo 6

Fazemos a substituição t = e^x, de modo que dt = e^x,dx ⇒ dx = dt/t. Quando x=0 ⇒ t=1 e quando x=2 ⇒ t=e^2. Assim
L = integral1^e^2 raizt^2 + 1t^2,dt

Passo 7

Para resolver integral raizt^2+1t^2,dt, aplicamos integração por partes. Tomamos
u = raizt^2+1, dv = t^-2,dt,
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du = traizt^2+1,dt, v = -1t

Passo 8

A integral então se torna
integral raizt^2+1t^2,dt = uv - integral v,du = -raizt^2+1t + integral 1raizt^2+1,dt

Passo 9

Reconhecemos que
$$\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}},dt = \mathrm{arcsinh}(t) = \ln\bigl(t + \sqrt{t^2+1}\bigr).
integral 1raizt^2+1,dt = arcsinh(t) = lnl(t + raizt^2+1r) é-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} + \ln\bigl(t + \sqrt{t^2+1}\bigr).$$

Passo 10

Avalia-se essa primitiva nos limites t=1 e t=e^2 e, e depois de simplificar os termos algébricos e logarítmicos, obtém-se a expressão fechada para o comprimento de arco.

Resposta

L = 2 + raiz2 - raiz1 + e^-4 + ln!l(1 + raiz1 + e^-41 + raiz2r)

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