Encontre o comprimento da curva
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva definida por y = 1 - e^{-x} no intervalo x\in[0,2]. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma função y=f(x) e vamos precisar da derivada de y e da fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Calcula-se a derivada de y em relação a x. Como y = 1 - e^{-x}, então
Passo 3
Usamos a fórmula do comprimento de arco de y=f(x) de x=a até x=b:
Passo 4
Substituindo f’(x)=e^{-x} e os limites a=0, b=2, ficamos com
Passo 5
Para simplificar o integrando, note que
Passo 6
Fazemos a substituição t = e^x, de modo que dt = e^x,dx ⇒ dx = dt/t. Quando x=0 ⇒ t=1 e quando x=2 ⇒ t=e^2. Assim
Passo 7
Para resolver
, aplicamos integração por partes. Tomamos
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Passo 8
A integral então se torna
Passo 9
Reconhecemos que
$$\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}},dt = \mathrm{arcsinh}(t) = \ln\bigl(t + \sqrt{t^2+1}\bigr).
Passo 10
Avalia-se essa primitiva nos limites t=1 e t=e^2 e, e depois de simplificar os termos algébricos e logarítmicos, obtém-se a expressão fechada para o comprimento de arco.