Encontre o comprimento das curvas parametrizadas por:
r(t)=(t, t^2 / 3), 1 <= t <= 4;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por r(t) = l(t,,t^2/3r) para 1<= t<= 4. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica em Bbb R^2, e vamos usar a fórmula
L = integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Aqui x(t)=t e y(t)=t^2/3. Logo,
x'(t)=1, y'(t)=23,t^-1/3
Então o integrando fica
raiz1 + l(tfrac23t^-1/3r)^2 = raiz1 + 49,t^-2/3 = raiz9,t^2/3+43,t^1/3
Portanto
L = integral1^4 raiz9,t^2/3+43,t^1/3,dt

Passo 3

Para simplificar, faça a substituição
u = t^1/3 Longrightarrow t = u^3, dt = 3u^2,du,
e note que t^2/3=u^2, t^1/3=u. O integrando vira
raiz9u^2+43u;cdot 3u^2,du = u,raiz9u^2+4,du
Os limites mudam de t=1mapsto u=1 e t=4mapsto u=4^1/3.

Passo 4

Agora calcule
integral u,raiz9u^2+4,du
Use v=9u^2+4, dv=18u,du, então u,du = dv/18. Assim
integral u,raiz9u^2+4,du = integral raizv,dv18 = 118,23,v^3/2 = 127,(9u^2+4)^3/2

Passo 5

Voltando aos limites em u, obtemos
L = 127l[(9u^2+4)^3/2r]u=1^u=4^1/3 = 127l[l(9cdot4^2/3+4r)^3/2 - (9cdot1^2+4)^3/2r]

Resposta

L = l(9,4^2/3+4r)^3/2 ;-; 13^3/227

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