Indique se a equação é verdadeira ou não para todos os valores da variável x.
raizx^2+4=|x|+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade
raizx^2+4 = lvert xrvert + 2
é válida para todo xinR. Vamos usar propriedades de radiciação e valor absoluto e resolver a equação.

Passo 2

Observação: tanto raizx^2+4 quanto lvert xrvert+2 são não-negativos para todo x. Portanto, a equação é equivalente à sua versão ao quadrado:
x^2 + 4 = (lvert xrvert + 2)^2

Passo 3

Expandindo o quadrado e simplificando:
(lvert xrvert + 2)^2 = lvert xrvert^2 + 4lvert xrvert + 4 = x^2 + 4lvert xrvert + 4,
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x^2 + 4 = x^2 + 4lvert xrvert + 4 ;;Longrightarrow;; 4 = 4lvert xrvert + 4 ;;Longrightarrow;; 0 = 4lvert xrvert ;;Longrightarrow;; lvert xrvert = 0 ;;Longrightarrow;; x = 0

Passo 4

Verificação: para x=0 temos
raiz0^2+4=2 e lvert0rvert+2=2,
de modo que a igualdade só se confirma em x=0.

Resposta

A equação não é verdadeira para todo x; ela vale apenas em x=0.

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