Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2-y^2+4 x-2 y+3;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
x^2 - y^2 + 4x - 2y + 3
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, onde vamos usar agrupamento por variáveis, completamento de quadrado e, por fim, diferença de quadrados.

Passo 2

Agrupamos os termos envolvendo x, os envolvendo y e o termo constante:
x^2 + 4x ;-; l(y^2 + 2yr);+;3

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4,
y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 Longrightarrow -(y^2+2y)=-(y+1)^2+1
Substituindo na expressão original e somando as constantes:
x^2 - y^2 + 4x - 2y + 3 = l((x+2)^2-4r) ;+;l(-(y+1)^2+1r);+;3 = (x+2)^2 - (y+1)^2 +(-4+1+3) = (x+2)^2 - (y+1)^2

Passo 4

Reconhecemos agora uma diferença de quadrados e aplicamos
A^2 - B^2 = (A - B),(A + B)
com A = x+2 e B = y+1:
(x+2)^2 - (y+1)^2 = l((x+2)-(y+1)r),l((x+2)+(y+1)r) = (x - y + 1),(x + y + 3)

Resposta

(x - y + 1),(x + y + 3)

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