Encontre o comprimento das curvas parametrizadas por:
r(t)=(t^2, t^3), t in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
r(t) = l(t^2,,t^3r), tin[-1,1]
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curva em coordenadas paramétricas, usando a fórmula
L = integrala^b llVert r'(t)rrVert ,dt

Passo 2

Computamos a derivada vetorial:
r'(t) = l(x'(t),,y'(t)r) = l(2t,,3t^2r)
Logo, o módulo é
llVert r'(t)rrVert = raiz(2t)^2 + (3t^2)^2 = raiz4t^2 + 9t^4 = raizt^2,(4 + 9t^2) = |t|raiz4 + 9t^2

Passo 3

Assim o comprimento é
L = integral-1^1 |t|raiz4 + 9t^2,dt
Como a função f(t)=|t|raiz4+9t^2 é par, podemos usar simetria:
L = 2integral0^1 traiz4 + 9t^2,dt

Passo 4

Fazemos a substituição
u = 4 + 9t^2, du = 18t,dt,
de onde t,dt = du/18. Quando t=0, u=4; quando t=1, u=13. Então
integral0^1 traiz4 + 9t^2,dt = integral4^13 raizu,du18 = 118integral4^13 u^1/2,du = 118,23l[u^3/2r]4^13 = 127l(13^3/2 - 4^3/2r)

Passo 5

Voltando em L:
L = 2;127l(13raiz13 - 8r) = 227l(13raiz13 - 8r)

Resposta

L = 227l(13raiz13 - 8r)

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