Exercício 1. As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 80 cm, 60 cm e 50 cm , respectivamente, com erro máximo de 0,2 cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície da caixa e no cálculo do volume da caixa.

Passo 1

O enunciado nos dá uma caixa retangular fechada com dimensões
;x=80 cm,;y=60 cm,;z=50 cm
e erro máximo em cada dimensão
;De<a x=De<a y=De<a z=0,2 cm
Pede-se usar diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície
;S e do volume ;V.

Passo 2

A área da superfície de uma caixa retangular é
S = 2,(xy + xz + yz)
Tomando diferencial,
dS = 2l(y,dx + x,dy + z,dx + x,dz + z,dy + y,dzr) = 2l((y+z),dx + (x+z),dy + (x+y),dzr)

Passo 3

Substituindo
,x=80,;y=60,;z=50 e
,dx=dy=dz=0,2, obtemos
y+z = 60 + 50 = 110, x+z = 80 + 50 = 130, x+y = 80 + 60 = 140,
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dS = 2l(110cdot0,2 + 130cdot0,2 + 140cdot0,2r) = 2l(22 + 26 + 28r) = 2cdot76 = 152 cm^2

Passo 4

O volume da caixa é
V = x,y,z
Tomando diferencial,
dV = yz,dx + xz,dy + xy,dz

Passo 5

Com
,yz = 60cdot50 = 3000,; xz = 80cdot50 = 4000,; xy = 80cdot60 = 4800
e dx=dy=dz=0,2,
dV = 3000cdot0,2 + 4000cdot0,2 + 4800cdot0,2 = 600 + 800 + 960 = 2360 cm^3

Resposta

Erro máximo aproximado na área da superfície: 152 cm^2
Erro máximo aproximado no volume: 2360 cm^3

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