Indique se a equação é verdadeira ou não para todos os valores da variável x.
1x^-1+y^-1=x+y

Passo 1

Então, o que temos aqui é a equação
1x^-1 + y^-1 ;=; x + y
O tema é “trabalhar com expoentes negativos e frações” – ou seja, lembrar que x^-1 = tfrac1x e saber somar e simplificar frações. Vamos precisar:
  1. Converter x^-1 e y^-1 em frações.
  2. Fazer o MMC para somar frações.
  3. Simplificar a expressão e comparar com x+y.

Passo 2

Primeiro, usa a regra de expoente negativo:
x^-1 = tfrac1x e y^-1 = tfrac1y
Então a parte de baixo da nossa fração vira
x^-1 + y^-1 = 1x + 1y

Passo 3

Para somar tfrac1x + tfrac1y, a gente precisa do MMC dos denominadores, que é xy. Assim:
1x + 1y = yxy + xxy = x + yxy

Passo 4

Agora substituímos de volta em
1x^-1+y^-1:
11x + 1y = 1x+yxy = xy,x+y,
Então a equação original fica
xyx+y ;=; x + y

Passo 5

Para ver se isso bate para todo x, a gente multiplica dos dois lados por (x+y) (assumindo x+yneq0):
xy = (x+y)^2
Expande o quadrado:
xy = x^2 + 2xy + y^2 Longrightarrow 0 = x^2 + 2xy + y^2 - xy = x^2 + xy + y^2
O que nos leva a
x^2 + xy + y^2 = 0
Em números reais, x^2, xy e y^2 são não-negativos e essa soma só dá zero se x=0 e y=0. Mas aí tfrac1x e tfrac1y não estão definidos!

Resposta

Não é verdadeira para todos os valores de x (nem de y). Em reais, não há par (x,y) no domínio que satisfaça a equação, então ela não é uma identidade.

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