Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:
y \ln x \frac{d x}{d y}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
y \ln x \,\frac{dx}{dy} \;=\;\Bigl(\frac{y+1}{x}\Bigr)^{2}.
Aqui a incógnita é x em função de y. Vamos identificar que é separável e que precisamos integrar em x de um lado e em y do outro.

Passo 2

Isolamos \frac{dx}{dy} e separamos as variáveis:
\frac{dx}{dy} =\frac{(y+1)^{2}}{y\,x^{2}\,\ln x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,\ln x\;dx =\frac{(y+1)^{2}}{y}\;dy.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
\int x^{2}\ln x\;dx.
Usamos integração por partes: seja u=\ln x e dv=x^{2}dx. Então du=\frac{1}{x}dx e v=\frac{x^{3}}{3}. Logo,
\int x^{2}\ln x\;dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x -\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x -\frac{1}{3}\int x^{2}dx =\frac{x^{3}}{3}\ln x -\frac{x^{3}}{9}.

Passo 4

No lado direito,
\int \frac{(y+1)^{2}}{y}\;dy =\int\bigl(y+2+\tfrac{1}{y}\bigr)dy =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert.

Passo 5

Igualando as integrais e somando uma constante genérica C, obtemos a solução implícita:
\frac{x^{3}}{3}\ln x -\frac{x^{3}}{9} =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert+C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x -\frac{x^{3}}{9} =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert+C,
que é a solução geral da equação diferencial dada.

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