A função z=f(x, y) é dada como uma função implícita. Encontre a equação do plano tangente, a equação da reta ortogonal nos pontos dados, \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} :
z=x^{2}-y^{3}, \quad(3,2,1);

Passo 1

O enunciado define a superfície \,z=f(x,y)=x^2-y^3
e pede em (x_0,y_0,z_0)=(3,2,1):
  • as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y},
  • a equação do plano tangente,
  • a equação da reta ortogonal à superfície.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=2x
f_y(x,y)=-3y^2
Avaliando em (3,2):
f_x(3,2)=6
f_y(3,2)=-12

Passo 3

A fórmula do plano tangente em (3,2,1) é
z-1=f_x(3,2)\,(x-3)+f_y(3,2)\,(y-2).
Substituindo os valores:
z-1=6\,(x-3)-12\,(y-2).
Que, ao expandir, fica
z=6x-12y+7.

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado por \,(f_x(3,2),\,f_y(3,2),\,-1)=(6,-12,-1).
Logo, a reta ortogonal à superfície em (3,2,1) pode ser escrita em forma vetorial:
(x,y,z)=(3,2,1)+t\,(6,-12,-1).

Resposta

\displaystyle f_x(3,2)=6,\quad f_y(3,2)=-12
Plano tangente: \,z-1=6(x-3)-12(y-2) ou \,z=6x-12y+7
Reta ortogonal: \,(x,y,z)=(3,2,1)+t(6,-12,-1)

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