Exercício 2.5. No espaço \mathbb{R}^{3}, uma partícula se encontra restrita à superfície y^{3} z-x y^{2}+x z=0, e inicialmente no ponto (24,2,3). Qual a taxa de variação de sua coordenada x em relação a z ? (Resposta: 32 )

Passo 1

Temos uma partícula em \mathbb{R}^{3} sujeita à superfície dada por
F(x,y,z)=y^{3}z - x\,y^{2} + x\,z = 0
e sabemos que ela passa pelo ponto (x,y,z)=(24,2,3). Queremos encontrar a taxa de variação \frac{dx}{dz} nesse ponto. O conteúdo é diferenciação implícita em multivariáveis, tratando y como constante.

Passo 2

Definimos a função de restrição
F(x,y,z)=y^{3}z - x\,y^{2} + x\,z.
Na superfície, vale F(x,y,z)=0.

Passo 3

Computamos as derivadas parciais de F em relação a x e a z:
\frac{\partial F}{\partial x} =-y^{2}+z, \qquad \frac{\partial F}{\partial z} =y^{3}+x.

Passo 4

Como F(x,y,z)\equiv0 ao longo da superfície, sua derivada total em relação a z é
\frac{d}{dz}F(x,y,z) =\frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{dx}{dz} +\frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{dy}{dz} +\frac{\partial F}{\partial z}=0.
Estamos buscando \tfrac{dx}{dz} mantendo y constante, logo \tfrac{dy}{dz}=0. Isso reduz a
\frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{dx}{dz} +\frac{\partial F}{\partial z}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dz} =-\frac{\frac{\partial F}{\partial z}}{\frac{\partial F}{\partial x}}.

Passo 5

Avaliamo as parciais no ponto (24,2,3):
\frac{\partial F}{\partial x}\Big|_{(24,2,3)} =-\,2^{2}+3=-4+3=-1, \qquad \frac{\partial F}{\partial z}\Big|_{(24,2,3)} =2^{3}+24=8+24=32.

Passo 6

Substituindo em \frac{dx}{dz}=-\tfrac{F_{z}}{F_{x}}, obtemos
\frac{dx}{dz}=-\frac{32}{-1}=32.

Resposta

A taxa de variação de x em relação a z no ponto (24,2,3) é 32.

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