Exercício 2.5. No espaço \mathbb{R}^{3}, uma partícula se encontra restrita à superfície y^{3} z-x y^{2}+x z=0, e inicialmente no ponto (24,2,3). Qual a taxa de variação de sua coordenada x em relação a z ? (Resposta: 32 )
Passo 1
Temos uma partícula em \mathbb{R}^{3} sujeita à superfície dada por
F(x,y,z)=y^{3}z - x\,y^{2} + x\,z = 0
e sabemos que ela passa pelo ponto (x,y,z)=(24,2,3). Queremos encontrar a taxa de variação \frac{dx}{dz} nesse ponto. O conteúdo é diferenciação implícita em multivariáveis, tratando y como constante.
Passo 2
Definimos a função de restrição
F(x,y,z)=y^{3}z - x\,y^{2} + x\,z.
Na superfície, vale F(x,y,z)=0.
Passo 3
Computamos as derivadas parciais de F em relação a x e a z: