Resolva os PVI
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Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(a)
;
8
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que encontremos um fator integrante que a torne exata e, em seguida, a resolvamos. O conteúdo aqui é equações exatas e fatores integrantes de função só de
ou só de
.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata, isto é, se
Calculando,
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante
. A condição é que
seja função só de
. Aqui
que é constante (logo depende só de
). Então
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Verificamos a exatidão:
Portanto a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em
:
Como
e
, vem
Agora impomos
:
logo
e
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
ou, de forma mais compacta,