Resolva os PVI
8
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(a) y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y(x+y+1),dx + (x+2y),dy = 0
e pede que encontremos um fator integrante que a torne exata e, em seguida, a resolvamos. O conteúdo aqui é equações exatas e fatores integrantes de função só de x ou só de y.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, isto é, se
partialpartial yl[y(x+y+1)r] ;=; partialpartial xl[x+2yr]
Calculando,
partial Mpartial y =;x+y+1 + ycdot1 = x + 2y +1, partial Npartial x =;1
Como x+2y+1 neq 1, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante mu(x). A condição é que
partial M/partial y - partial N/partial xN
seja função só de x. Aqui
(x+2y+1)-1x+2y =x+2yx+2y=1,
que é constante (logo depende só de x). Então
mu(x) = exp!l(integral 1,dxr) = e^x

Passo 4

Multiplicando a equação original por e^x, obtemos
M^* = e^x,y(x+y+1), N^* = e^x(x+2y)
Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y = e^x(x+2y+1), partial N^*partial x = e^x(x+2y) + e^xcdot1 = e^x(x+2y+1)
Portanto a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^* e partial psipartial y = N^*
Integrando M^* em x:
psi(x,y) = integral e^x,y(x+y+1),dx = yintegral x e^x,dx ;+; y^2integral e^x,dx ;+; yintegral e^x,dx + h(y)
Como integral x e^x,dx = x e^x - e^x e integral e^x,dx = e^x, vem
psi = yl(x e^x - e^xr) + y^2 e^x + y e^x + h(y) = x e^x y + y^2 e^x + h(y)
Agora impomos partialpsi/partial y=N^*:
partialpsipartial y = x e^x + 2y e^x + h'(y) stackrel!= e^x(x+2y),
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y) = x e^x y + y^2 e^x = C,
ou, de forma mais compacta,
e^x,y,(x+y) = C

Resposta

e^x,y,(x+y) = C

Exercícios relacionados