Encontre os comprimentos dos lados do triãngulo A B C onde A(3,-1,-1), B(1,2,1), C(6,-1,2). O triângulo é retângulo?
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede duas coisas: encontrar os comprimentos dos lados e dizer se o triângulo é retângulo. Dados fornecidos: A(3,-1,-1), B(1,2,1), C(6,-1,2).
Perguntas:
Quais são os comprimentos de \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC}?
O triângulo ABC é retângulo? Se sim, em qual vértice o ângulo reto ocorre?
Passo 2
Para encontrar o comprimento entre dois pontos no espaço, usamos a fórmula da distância em \mathbb{R}^3. Se temos dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), a distância \overline{PQ} é dada por
Explicação rápido e intuitiva: subtraímos coordenada a coordenada para formar o vetor \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) e o comprimento é a norma euclidiana desse vetor, que soma os quadrados das componentes e tira raiz quadrada.
Passo 3
Calculemos o vetor \overrightarrow{AB} por subtração coordenada a coordenada:
Agora vamos testar se o triângulo é retângulo. Uma forma eficiente é usar o produto escalar: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3,
onde \theta é o ângulo entre eles. Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0, então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (ângulo de 90^\circ). No triângulo, se dois lados que saem do mesmo vértice são perpendiculares, o ângulo naquele vértice é reto.
Passo 7
Verifiquemos o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (são os dois vetores que saem de A):
Note que 17+18=35, portanto \overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2, que também confirma que o triângulo é retângulo com hipotenusa \overline{BC} e catetos \overline{AB} e \overline{AC}.
Resposta
\overline{AB}=\sqrt{17} \overline{AC}=3\sqrt{2} \overline{BC}=\sqrt{35}
Sim — o triângulo é retângulo em A.