Encontre os comprimentos dos lados do triãngulo A B C onde A(3,-1,-1), B(1,2,1), C(6,-1,2). O triângulo é retângulo?

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo e pede duas coisas: encontrar os comprimentos dos lados e dizer se o triângulo é retângulo. Dados fornecidos:
A(3,-1,-1), B(1,2,1), C(6,-1,2).
Perguntas:
  1. Quais são os comprimentos de \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC}?
  2. O triângulo ABC é retângulo? Se sim, em qual vértice o ângulo reto ocorre?

Passo 2

Para encontrar o comprimento entre dois pontos no espaço, usamos a fórmula da distância em \mathbb{R}^3. Se temos dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), a distância \overline{PQ} é dada por
\overline{PQ}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicação rápido e intuitiva: subtraímos coordenada a coordenada para formar o vetor \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) e o comprimento é a norma euclidiana desse vetor, que soma os quadrados das componentes e tira raiz quadrada.

Passo 3

Calculemos o vetor \overrightarrow{AB} por subtração coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-3,\;2-(-1),\;1-(-1)) = (-2,\;3,\;2).
Agora aplicamos a fórmula da norma:
\overline{AB}=\sqrt{(-2)^2+3^2+2^2}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}.

Passo 4

Calculemos o vetor \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(6-3,\;-1-(-1),\;2-(-1))=(3,\;0,\;3).
Norma:
\overline{AC}=\sqrt{3^2+0^2+3^2}=\sqrt{9+0+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Observação: \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}.

Passo 5

Calculemos o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC}=C-B=(6-1,\;-1-2,\;2-1)=(5,\;-3,\;1).
Norma:
\overline{BC}=\sqrt{5^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35}.

Passo 6

Agora vamos testar se o triângulo é retângulo. Uma forma eficiente é usar o produto escalar: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z = \lVert \mathbf{u}\rVert\lVert \mathbf{v}\rVert\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0, então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (ângulo de 90^\circ). No triângulo, se dois lados que saem do mesmo vértice são perpendiculares, o ângulo naquele vértice é reto.

Passo 7

Verifiquemos o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (são os dois vetores que saem de A):
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)\cdot 3 + 3\cdot 0 + 2\cdot 3 = -6 + 0 + 6 = 0.
Como o produto escalar é 0, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são perpendiculares, ou seja, o ângulo em A é reto.

Passo 8

Como verificação alternativa (controle de erro), podemos checar o Teorema de Pitágoras com os quadrados dos comprimentos:
\overline{AB}^2 = 17,\qquad \overline{AC}^2 = 18,\qquad \overline{BC}^2 = 35.
Note que 17+18=35, portanto \overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC}^2, que também confirma que o triângulo é retângulo com hipotenusa \overline{BC} e catetos \overline{AB} e \overline{AC}.

Resposta

\overline{AB}=\sqrt{17}
\overline{AC}=3\sqrt{2}
\overline{BC}=\sqrt{35}
Sim — o triângulo é retângulo em A.

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