Sejam vetores \vec{u}=\hat{i}+\hat{j}-2 \widehat{k}, \vec{v}=-\hat{i}+2 \widehat{j}+3 \hat{k}, \vec{w}=5 \hat{i}+8 \hat{k}. Determine \alpha, \beta de modo que \vec{w}-\alpha \vec{u}-\beta \vec{v} é ortogonal tanto a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores e pede que eu determine dois escalares de modo que um certo vetor resultante seja ortogonal a dois vetores dados. Informações explícitas do enunciado:
\vec{u}=\hat{i}+\hat{j}-2\widehat{k},\qquad \vec{v}=-\hat{i}+2\widehat{j}+3\hat{k},\qquad \vec{w}=5\hat{i}+8\hat{k}.
O que se pede: encontrar os escalares \alpha e \beta tais que o vetor
\vec{r}=\vec{w}-\alpha\vec{u}-\beta\vec{v}
seja ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}. Ou seja, devemos garantir
\vec{r}\cdot\vec{u}=0\quad\text{e}\quad \vec{r}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Lembrete prático e didático: produto escalar (dot product). Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Duas observações importantes:
  • Duas direções são ortogonais exatamente quando seu produto escalar é zero.
  • Para montar equações, eu vou escrever todos os vetores em coordenadas e aplicar essa fórmula.
Exemplo rápido (para fixar): (1,0,0)\cdot(0,1,0)=1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0=0, logo são ortogonais.

Passo 3

Escrevendo os vetores em coordenadas (componentes):
\vec{u}=(1,1,-2),\qquad \vec{v}=(-1,2,3),\qquad \vec{w}=(5,0,8).
Agora calculo \vec{r}=\vec{w}-\alpha\vec{u}-\beta\vec{v} componente a componente:
\vec{r}=\bigl(5-\alpha+ \beta,\; 0-\alpha-2\beta,\; 8+2\alpha-3\beta\bigr).
Aqui cada componente foi obtida somando/subtraindo as componentes correspondentes de \vec{w},\alpha\vec{u},\beta\vec{v}:
  • primeira componente: 5-\alpha+ \beta,
  • segunda componente: 0-\alpha-2\beta,
  • terceira componente: 8+2\alpha-3\beta.

Passo 4

Imponho as condições de ortogonalidade usando o produto escalar.
Primeira condição: \vec{r}\cdot\vec{u}=0. Calculando:
\vec{r}\cdot\vec{u}=(5-\alpha+\beta)\cdot 1+(-\alpha-2\beta)\cdot 1+(8+2\alpha-3\beta)\cdot(-2).
Faço a expansão passo a passo:
\begin{aligned} \vec{r}\cdot\vec{u}&=5-\alpha+\beta-\alpha-2\beta-2(8+2\alpha-3\beta)\\[4pt] &=5-\alpha+\beta-\alpha-2\beta-16-4\alpha+6\beta\\[4pt] &=(5-16)+(-\alpha-\alpha-4\alpha)+(\beta-2\beta+6\beta)\\[4pt] &=-11-6\alpha+5\beta. \end{aligned}
Portanto a primeira equação é
-11-6\alpha+5\beta=0.]

Passo 5

Segunda condição: \vec{r}\cdot\vec{v}=0. Calculando:
\vec{r}\cdot\vec{v}=(5-\alpha+\beta)(-1)+(-\alpha-2\beta)\cdot 2+(8+2\alpha-3\beta)\cdot 3.
Expando passo a passo:
\begin{aligned} \vec{r}\cdot\vec{v}&=-5+\alpha-\beta-2\alpha-4\beta+24+6\alpha-9\beta\\[4pt] &=(-5+24)+(\alpha-2\alpha+6\alpha)+(-\beta-4\beta-9\beta)\\[4pt] &=19+5\alpha-14\beta. \end{aligned}
Logo a segunda equação é
19+5\alpha-14\beta=0.]

Passo 6

Agora temos um sistema linear de duas equações em \alpha\) e \(\beta\): \[\begin{cases} -11-6\alpha+5\beta=0,\\[4pt] 19+5\alpha-14\beta=0. \end{cases}
Reescrevo de forma mais convencional (colocando termos com (\alpha,\beta] à esquerda):
\begin{cases} -6\alpha+5\beta=11,\\[4pt] 5\alpha-14\beta=-19. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por 5 e a segunda por 6 para eliminar \alpha ao somar:
\begin{aligned} &(-6\alpha+5\beta=11)\times 5 \quad\Rightarrow\quad -30\alpha+25\beta=55,\\[4pt] &(5\alpha-14\beta=-19)\times 6 \quad\Rightarrow\quad 30\alpha-84\beta=-114. \end{aligned}
Somando as duas equações:
(-30\alpha+30\alpha)+(25\beta-84\beta)=55-114 \quad\Rightarrow\quad -59\beta=-59.
Assim
\beta=1.]

Passo 8

Substituo \beta=1 em uma das equações para encontrar \alpha. Uso -6\alpha+5\beta=11:
-6\alpha+5\cdot 1=11 \quad\Rightarrow\quad -6\alpha+5=11 \quad\Rightarrow\quad -6\alpha=6.
Logo
\alpha=-1.

Passo 9

Verificação rápida (para ficar tranquilo): com \alpha=-1 e \beta=1 o vetor resultante é
\vec{r}=\bigl(5-(-1)+1,\; -(-1)-2\cdot1,\; 8+2(-1)-3\cdot1\bigr)=(7,-1,3).
Calculo os produtos escalares:
\vec{r}\cdot\vec{u}=7\cdot1+(-1)\cdot1+3\cdot(-2)=7-1-6=0,
\vec{r}\cdot\vec{v}=7\cdot(-1)+(-1)\cdot2+3\cdot3=-7-2+9=0.
Ambos são zero, então a solução está correta.

Resposta

\alpha=-1
\beta=1

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