Sejam vetores
. Determine
de modo que
é ortogonal tanto a
e
.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores e pede que eu determine dois escalares de modo que um certo vetor resultante seja ortogonal a dois vetores dados. Informações explícitas do enunciado:
O que se pede: encontrar os escalares
e
tais que o vetor
seja ortogonal tanto a
quanto a
. Ou seja, devemos garantir
Passo 2
Lembrete prático e didático: produto escalar (dot product). Se
e
, então
Duas observações importantes:
- Duas direções são ortogonais exatamente quando seu produto escalar é zero.
- Para montar equações, eu vou escrever todos os vetores em coordenadas e aplicar essa fórmula.
Exemplo rápido (para fixar):
, logo são ortogonais.
Passo 3
Escrevendo os vetores em coordenadas (componentes):
Agora calculo
componente a componente:
Aqui cada componente foi obtida somando/subtraindo as componentes correspondentes de
:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Passo 4
Imponho as condições de ortogonalidade usando o produto escalar.
Primeira condição:
. Calculando:
Faço a expansão passo a passo:
Portanto a primeira equação é
Passo 5
Segunda condição:
. Calculando:
Expando passo a passo:
Logo a segunda equação é
Passo 6
Agora temos um sistema linear de duas equações em
Reescrevo de forma mais convencional (colocando termos com (\alpha,\beta] à esquerda):
]
Passo 7
Resolvo o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
para eliminar
ao somar:
Somando as duas equações:
Assim
Passo 8
Substituo
em uma das equações para encontrar
. Uso
:
Logo
Passo 9
Verificação rápida (para ficar tranquilo): com
e
o vetor resultante é
Calculo os produtos escalares:
Ambos são zero, então a solução está correta.