Verifique a posição relativa dos seguintes planos (caso sejam concorrentes, indique a reta de interseção):
\pi 1: X=(1,1,1)+s \cdot(1,0,2)+t \cdot(0,1,1) \pi 2: X=(3,2,6)+\lambda \cdot(1,0,2)+\mu \cdot(0,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a posição relativa entre os planos \pi_1 e \pi_2. Em outras palavras, precisamos dizer se são coincidentes, paralelos distintos, ou se se intersectam (e, neste último caso, dar a reta de interseção).
Informações dadas:
\pi_1:\; X = (1,1,1) + s\cdot(1,0,2) + t\cdot(0,1,1)
\pi_2:\; X = (3,2,6) + \lambda\cdot(1,0,2) + \mu\cdot(0,1,1)
Pontos base: P_1=(1,1,1) (para \pi_1) e P_2=(3,2,6) (para \pi_2).
Vetores diretores comuns indicados explicitamente: v_1=(1,0,2) e v_2=(0,1,1).

Passo 2

Observação inicial sobre direções: ambos os planos usam exatamente os mesmos vetores diretores v_1 e v_2. Isso já indica que os planos são paralelos (ou potencialmente coincidentes), porque o espaço gerado por v_1 e v_2 serve como o plano direcional para ambos.
Explicação do conceito (didática): um plano parametrizado por um ponto P e vetores diretores v_1,v_2 contém todos os pontos P + \alpha v_1 + \beta v_2. Se dois planos têm exatamente os mesmos vetores diretores, suas “orientações” são iguais — ou seja, possuem o mesmo espaço de direções. Para distinguir entre paralelismo (planos distintos) e coincidência (mesmo plano), devemos verificar se um ponto de um plano pertence ao outro.

Passo 3

Cálculo do vetor normal (útil para entendimento e verificação): o vetor normal n ao plano pode ser obtido por n = v_1 \times v_2. Fazendo o produto vetorial passo a passo,
v_1=(1,0,2),\quad v_2=(0,1,1).
Usando a fórmula do produto vetorial:
n = v_1 \times v_2 = \bigl(v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y},\; v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z},\; v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x}\bigr).
Substituindo,
n = (0\cdot 1 - 2\cdot 1,\; 2\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - 0\cdot 0) = (-2,-1,1).
Interpretação: n é ortogonal a v_1 e a v_2 e serve como normal para ambos os planos (pois ambos têm os mesmos v_1,v_2).

Passo 4

Verificação direta se P_2\) pertence a \(\pi_1\): calcule o vetor entre os pontos base \[\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (3,2,6) - (1,1,1) = (2,1,5).
Se \overrightarrow{P_1P_2} pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2, então P_2 está em \pi_1 e os planos coincidem.
Procuramos a,b tais que
a(1,0,2) + b(0,1,1) = (2,1,5).
Isso gera o sistema de equações (coordenada a coordenada):
\begin{cases} a = 2,\\[4pt] b = 1,\\[4pt] 2a + b = 5. \end{cases}
Substituindo a=2\] e \(b=1 na terceira equação: 2\cdot 2 + 1 = 5, que é verdadeiro. Logo existe solução e
\overrightarrow{P_1P_2} = 2\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
Portanto P_2 pertence a \pi_1.
Verificação alternativa (com o normal): calcule o produto escalar n\cdot\overrightarrow{P_1P_2}:
n\cdot\overrightarrow{P_1P_2} = (-2,-1,1)\cdot(2,1,5) = -4 -1 +5 = 0.
Se o produto escalar for zero, o vetor entre pontos é ortogonal ao normal, isto é, está no plano — confirma também que P_2\in\pi_1.]

Passo 5

Conclusão formal e observação prática: como P_2 pertence a \pi_1 e os vetores diretores são os mesmos, os dois planos representam exatamente o mesmo conjunto de pontos. Podemos escrever explicitamente a relação entre parâmetros: para qualquer \lambda,\mu,
(3,2,6)+\lambda v_1+\mu v_2 = (1,1,1)+(2+\lambda)v_1+(1+\mu)v_2,
mostrando que qualquer ponto de \pi_2 é também um ponto de \pi_1.

Resposta

As \pi_1 e \pi_2 coincidem.

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