Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
e analisar o comportamento das suas soluções quando
. O método consiste em achar a solução da parte homogênea e uma solução particular e depois somá-las.
Passo 2
Primeiro dividimos a equação por
para ficar na forma padrão:
A parte homogênea é
Podemos separar variáveis:
onde
é a constante arbitrária.
Passo 3
Para achar uma solução particular
, tentamos um polinômio de grau 2:
logo
Substituindo em
:
Isto é equivalente a
Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 4
A solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Ao fazermos
, o termo
decai para zero exponencialmente, e o termo polinomial domina. Logo
crescendo quadraticamente.
Resposta
A solução geral é
Para
,
com comportamento assintótico
.