Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto t longrightarrow infty.
2 y^prime+y=3 t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
2y' + y = 3t^2
e analisar o comportamento das suas soluções quando ttoinfty. O método consiste em achar a solução da parte homogênea e uma solução particular e depois somá-las.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação por 2 para ficar na forma padrão:
y' + tfrac12,y = tfrac32,t^2
A parte homogênea é
y' + tfrac12,y = 0
Podemos separar variáveis:
dyy = -tfrac12,dt Longrightarrow ln|y| = -tfrac t2 + K Longrightarrow yh(t) = C e^-t/2,
onde C = e^K é a constante arbitrária.

Passo 3

Para achar uma solução particular yp, tentamos um polinômio de grau 2:
yp = A,t^2 + B,t + C0,
logo
yp' = 2A,t + B
Substituindo em y' + tfrac12,y = tfrac32,t^2:
(2A,t + B) + tfrac12,(A,t^2 + B,t + C0) = tfrac32,t^2
Isto é equivalente a
A,t^2 + (4A + B),t + (2B + C0) = 3,t^2 + 0,t + 0
Igualando coeficientes:
A = 3, 4A + B = 0, 2B + C0 = 0 ;Longrightarrow; A=3,;B=-12,;C0=24
Portanto
yp(t) = 3,t^2 - 12,t + 24

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C e^-t/2 + 3,t^2 - 12,t + 24,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 5

Ao fazermos ttoinfty, o termo C e^-t/2 decai para zero exponencialmente, e o termo polinomial domina. Logo
y(t)sim 3,t^2 -12,t +24 Longrightarrow limttoinftyy(t) = +infty,
crescendo quadraticamente.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C e^-t/2 + 3,t^2 - 12,t + 24
Para ttoinfty, y(t)to+infty com comportamento assintótico y(t)sim3,t^2.

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