Encontre condições sobre os bi 's para que cada um dos sistemas seja consistente (isto é, tenha solução):
lx1-2 x2+x3=b1 -4 x1+5 x2+2 x3=b2 -4 x1+7 x2+4 x3=b3

Passo 1

O enunciado pede as condições sobre os bi para que o sistema de três equações lineares em três incógnitas seja consistente. O conteúdo envolve determinante de matriz de coeficientes e o Teorema de Rouché-Capelli, que diz que o sistema é consistente se e somente se a matriz de coeficientes e a matriz aumentada tiverem o mesmo posto.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & 1 -4 & 5 & 2 -4 & 7 & 4
e calculamos o seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdot5&27&4 -(-2)cdot-4&2-4&4 +1cdot-4&5-4&7
Agora,
5&27&4&=5cdot4-2cdot7=20-14=6, -4&2-4&4&=(-4)cdot4-2cdot(-4)=-16+8=-8, -4&5-4&7&=(-4)cdot7-5cdot(-4)=-28+20=-8
Substituindo,
det(A)=1cdot6 -(-2)cdot(-8) +1cdot(-8) =6 -16 -8 = -18

Passo 3

Como det(A)=-18neq0, a matriz de coeficientes é invertível e, pelo Teorema de Rouché-Capelli, o posto de A é 3 e coincide com o posto da matriz aumentada para quaisquer valores de b1,b2,b3. Logo, o sistema tem sempre solução (única) independentemente dos bi.

Resposta

O sistema é consistente para todos os valores reais de b1,b2,b3.

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