Seja v neq 0. Mostre que v|v| é um vetor unitário, isto é, um vetor de norma 1.
b) Verifique, usando linguagem vetorial, que as diagonais de um paralelogramo têm mesmo ponto médio.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: (a) mostrar que o vetor vec v|vec v| é unitário (norma 1) e (b) verificar, em linguagem vetorial, que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Vamos usar a propriedade de norma escalonada |alphavec w|=|alpha|,|vec w| e a definição vetorial de paralelogramo via soma de vetores.

Passo 2

Para (a), como vec vneqvec0 temos |vec v|>0. Usando a propriedade de norma escalonada com alpha=1/|vec v|:
|vec v|vec v|| = 1|vec v|,|vec v| = 1
Logo vec v|vec v| é um vetor unitário.

Passo 3

Para (b), considere o paralelogramo ABCD. Escolhendo o ponto A como origem (ou seja, OA=vec0), defina
vec b = AB, vec d = AD
Então
OB=vec b, OD=vec d, OC=OA+AB+BC=vec b+vec d
O ponto médio de AC é
OA+OC2= racvec0+(vec b+vec d)2=vec b+vec d2,
e o de BD é
OB+OD2=vec b+vec d2
Como são iguais, as diagonais têm o mesmo ponto médio.

Resposta

a) A norma de vec v|vec v| é 1, logo é unitário.
b) Os pontos médios de AC e BD coincidem em tfracvec b+vec d2, provando que as diagonais têm o mesmo ponto médio.

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