Verifique usando vetores e produto escalar que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando vetores e produto escalar, que as diagonais de um quadrado são perpendiculares. Vamos usar representação vetorial no plano e a definição de produto escalar, lembrando que em um quadrado os lados têm o mesmo comprimento e são perpendiculares entre si.

Passo 2

Escolhemos um vértice A como origem e definimos os vetores dos lados do quadrado: AB=b e AD=a. Como é um quadrado, temos
|a| = |b|,
e
acdotb=0,
pois os lados são iguais e adjacentes perpendiculares.

Passo 3

As diagonais ligam A a C e B a D. Assim, expressamos:
AC=AB+AD=b+a,
e
BD=D-B=(A+a)-(A+b)=a-b

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar entre as diagonais:
(b+a)cdot(a-b)=bcdota-bcdotb+acdota-acdotb
Usando acdotb=0 e |a|=|b|, isso vira
-| b|^2+| a|^2=0
Logo o produto escalar é zero, ou seja, ACcdotBD=0.

Resposta

Como ACcdotBD=0, concluímos que as diagonais do quadrado são perpendiculares.

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