Verifique usando vetores e produto escalar que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando vetores e produto escalar, que as diagonais de um quadrado são perpendiculares. Vamos usar representação vetorial no plano e a definição de produto escalar, lembrando que em um quadrado os lados têm o mesmo comprimento e são perpendiculares entre si.
Passo 2
Escolhemos um vértice A como origem e definimos os vetores dos lados do quadrado:
e
. Como é um quadrado, temos
e
pois os lados são iguais e adjacentes perpendiculares.
Passo 3
As diagonais ligam A a C e B a D. Assim, expressamos:
e
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar entre as diagonais:
Usando
e
, isso vira
Logo o produto escalar é zero, ou seja,
.
Resposta
Como
, concluímos que as diagonais do quadrado são perpendiculares.