Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de quatro equações lineares em seis incógnitas
x1+2x2-3x4+x5=2, x1+2x2+3x4+x5+2x6=3, x1+2x2+3x4+2x5+x6=4, 3x1+6x2+x3-9x4+4x5+3x6=9
usando o método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada e reduzir até a forma reduzida por linhas.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada na ordem (x1,x2,x3,x4,x5,x6):
[cccccc|c 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 2 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 2 & 3 1 & 2 & 0 & 3 & 2 & 1 & 4 3 & 6 & 1 & -9 & 4 & 3 & 9 ]

Passo 3

Eliminamos x1 em R 2, R 3 e R 4 usando R 1:
R2&R2-R1, R3&R3-R1, R4&R4-3,R1
Fica
[cccccc|c 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 ]

Passo 4

Precisamos de um pivô em x3. Ele já está em R4, então permutamos R2 rightarrow R4:
[cccccc|c 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 1 & 2 ]

Passo 5

Agora escolhemos pivô em x4 na R 3 (elemento 6). Primeiro normalizamos R 3:
R316,R3 Longrightarrow [cccccc|c 1 & 2 & 0 & -3 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac13 & tfrac16 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 1 & 2 ]
Em seguida eliminamos x4 em R 1 e R 4:
R1&R1+3,R3, R4&R4-6,R3,
obtendo
[cccccc|c 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & tfrac52 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac13 & tfrac16 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 6

O pivô em x5 já está em R 4 (elemento 1). Agora eliminamos x5 em R 1, R 2 e R 3:
R1&R1-1cdotR4, R2&R2-1cdotR4, R3&R3-0cdotR4,
resultando na forma reduzida
[cccccc|c 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & tfrac32 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac13 & tfrac16 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 ]

Passo 7

Da forma reduzida lemos os pivôs e identificamos as variáveis livres. As variáveis de pivô são
As equações de cada linha dão
Resolvendo em função de (\lambda,\mu], obtemos a solução geral.

Resposta

x1&=tfrac32-2lambda-2mu, x2&=lambda, x3&=2-4mu, x4&=tfrac16-tfracmu3, x5&=1+mu, x6&=mu,
com lambda,muinR livres.

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