Encontre condições sobre os termos independentes bi^prime s para que os sistemas lineares a seguir sejam possíveis: x-2 y+5 z & =b1, 4 x-5 y+8 z & =b2, -3 x+3 y-3 z & =b3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x - 2y + 5z = b1, 4x - 5y + 8z = b2, -3x + 3y - 3z = b3,
e pede condições sobre b1,b2,b3 para que esse sistema tenha solução. Nosso conteúdo será consistência de sistema linear via posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada, usando escalonamento.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada (Amid b):
A = 1 & -2 & 5 4 & -5 & 8 -3 & 3 & -3 , (Amid b)= 1 & -2 & 5 & b1 4 & -5 & 8 & b2 -3 & 3 & -3 & b3
Calculamos o determinante de A para ver se ele é invertível:
det(A) =1cdotl((-5)(-3)-8cdot3r) -(-2)cdotl(4cdot(-3)-8cdot(-3)r) +5cdotl(4cdot3-(-5)cdot(-3)r) = -9 + 24 -15 = 0
Como det(A)=0, o posto de A é menor que 3 e o sistema só terá solução se o posto de (Amid b) for igual ao posto de A.

Passo 3

Fazemos escalonamento em (Amid b). Primeiro
R2 R2-4R1, R3 R3+3R1,
obtendo
1 & -2 & 5 & b1 0 & 3 & -12 & b2-4b1 0 & -3 & 12 & b3+3b1
Em seguida
R3 R3+R2,
ficamos com
1 & -2 & 5 & b1 0 & 3 & -12 & b2-4b1 0 & 0 & 0 & b2+b3-b1

Passo 4

Do escalonamento vemos que o posto de A é 2 (há duas linhas não nulas). Para a matriz aumentada ter o mesmo posto, a última linha não pode gerar uma equação impossível. Logo, precisamos de
b2+b3-b1=0

Resposta

A condição para que o sistema seja possível é
b1=b2+b3

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