Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
e)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação em
e pede para decidir se isso é um produto interno. Para ser produto interno, precisamos de três propriedades principais:
- Bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- Simetria,
- Definitude positiva (isto é,
para todo ).
Passo 2
Verificamos rapidamente que a forma é bilinear (cada termo é produto de
por
com coeficiente constante) e simétrica (o coeficiente de
é o mesmo de
). Logo as duas primeiras propriedades estão OK.
Passo 3
Vamos examinar a definitude positiva, calculando
Para ser produto interno, essa expressão deve ser sempre estritamente positiva quando
. Mas se tomarmos, por exemplo,
então
Portanto a forma não é definida-positiva.
Resposta
Esta aplicação não define um produto interno em
, pois falha a condição de positividade.