Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^3 :
e) lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==2 x1 y1-x2 y2+x3 y3

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação em R^3
lang<=(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= ;=; 2x1y1 ;-; x2y2 ;+; x3y3
e pede para decidir se isso é um produto interno. Para ser produto interno, precisamos de três propriedades principais:
  1. Bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  2. Simetria,
  3. Definitude positiva (isto é, lang<= v,vrang<=>0 para todo vneq0).

Passo 2

Verificamos rapidamente que a forma é bilinear (cada termo é produto de xi por yi com coeficiente constante) e simétrica (o coeficiente de xi yi é o mesmo de yi xi). Logo as duas primeiras propriedades estão OK.

Passo 3

Vamos examinar a definitude positiva, calculando
lang<= (x1,x2,x3),(x1,x2,x3)rang<= =2x1^2-x2^2+x3^2
Para ser produto interno, essa expressão deve ser sempre estritamente positiva quando (x1,x2,x3)neq(0,0,0). Mas se tomarmos, por exemplo,
v=(0,1,0),
então
lang<= v,vrang<= = 2cdot0^2-1^2+0^2 = -1 < 0
Portanto a forma não é definida-positiva.

Resposta

Esta aplicação não define um produto interno em R^3, pois falha a condição de positividade.

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