Encontre condições sobre o vetor para que exista uma reta na direção de que intercepte simultaneamente as retas e nos ítens abaixo:

Passo 1

O enunciado dá duas retas r e s que não se intersectam (são reversas) e pede condição sobre o vetor de direção v=(a,b,c) para que exista uma reta de direção v que cruze simultaneamente r e s. Vamos parametrizar os pontos de interseção genéricos em r e s, chamar esses pontos de R(t) e S(u), e impor que RS seja paralelo a v.

Passo 2

Em r um ponto genérico é
R(t)=(2+t,;5-t,;3+t),
e em s um ponto genérico é
S(u)=(u,;1-u,;-2+u)
Para que a reta de direção v passe em R e em S, precisamos de um escalar lambda tal que
RS=S-R=lambda,(a,b,c)
Escrevendo componente a componente:
u-(2+t)=lambda a, 1-u-(5-t)=lambda b, -2+u-(3+t)=lambda c

Passo 3

Some as duas primeiras equações para eliminar u e t:
l[u-(2+t)r]+l[1-u-(5-t)r] =-6 =lambda,(a+b)
Logo
lambda,(a+b)=-6

Passo 4

Da primeira equação temos u-t=lambda a+2. Substituindo em u-t na terceira equação:
(u-t)-5=lambda c ;Longrightarrow; (lambda a+2)-5=lambda c ;Longrightarrow; lambda,(a-c)=3

Passo 5

Igualando os dois valores de lambda:
-6/(a+b)=3/(a-c) ;Longrightarrow; -6(a-c)=3(a+b) ;Longrightarrow; 3a+b-2c=0
Além disso, para não gerar contradição devemos ter a+bneq0 e a-cneq0.

Resposta

A condição é
3a+b-2c=0,
com as restrições a+bneq0 e aneq c.

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