Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
f(x)=\ln \left(1+x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\ln\!\bigl(1+x-x^{2}\bigr) e pede duas coisas:
  • Encontrar o conjunto domínio de f (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} em que f está definida).
  • Encontrar as raízes de f (os x tais que f(x)=0), se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do logaritmo é \displaystyle 1+x-x^{2}.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Lembrete curto e importante sobre logaritmo natural: \displaystyle \ln(t) está definido somente para \displaystyle t>0. Então a condição para x estar no domínio é
1+x-x^{2}>0.
Vou resolver essa desigualdade quadrática. Primeiro reescrevo em uma forma standard:
1+x-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}+x+1>0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade) dá
x^{2}-x-1<0.

Passo 3

Para resolver \displaystyle x^{2}-x-1<0 encontro as raízes da equação associada \displaystyle x^{2}-x-1=0 usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 1), a parábola x^{2}-x-1 abre para cima. Logo a expressão é negativa entre as duas raízes. Portanto a solução da desigualdade é o intervalo aberto entre elas:
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).
Para ter uma ideia numérica rápida (opcional): \displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618 e \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618.

Passo 4

Verificação dos extremos: nas extremidades \displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} temos \displaystyle 1+x-x^{2}=0, e \ln(0) é indefinido. Por isso os extremos não pertencem ao domínio — o intervalo é aberto.
Concluímos então que o domínio é
\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).

Passo 5

Agora as raízes de f. Raiz de f significa f(x)=0. Como \ln é zero quando o argumento vale 1, resolvo
\ln\!\bigl(1+x-x^{2}\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+x-x^{2}=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x-x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(1-x)=0.
Logo as soluções são
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 6

Preciso checar se essas soluções estão no domínio que achei. Usando os limites do intervalo:
\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618 < 0 < 1 < \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618.
Portanto ambos x=0 e x=1 pertencem ao domínio e são raízes válidas de f.

Resposta

Domínio: \displaystyle \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)
Raízes: \displaystyle x=0,\;x=1

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