Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o conjunto domínio de
(ou seja, todos os em que está definida). - Encontrar as raízes de
(os tais que ), se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Lembrete curto e importante sobre logaritmo natural:
está definido somente para
. Então a condição para
estar no domínio é
Vou resolver essa desigualdade quadrática. Primeiro reescrevo em uma forma standard:
Multiplicando ambos os lados por
(o que inverte o sinal da desigualdade) dá
Passo 3
Para resolver
encontro as raízes da equação associada
usando a fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola
abre para cima. Logo a expressão é negativa entre as duas raízes. Portanto a solução da desigualdade é o intervalo aberto entre elas:
Para ter uma ideia numérica rápida (opcional):
e
.
Passo 4
Verificação dos extremos: nas extremidades
temos
, e
é indefinido. Por isso os extremos não pertencem ao domínio — o intervalo é aberto.
Concluímos então que o domínio é
Passo 5
Agora as raízes de
. Raiz de
significa
. Como
é zero quando o argumento vale
, resolvo
Subtraindo
dos dois lados:
Logo as soluções são
Passo 6
Preciso checar se essas soluções estão no domínio que achei. Usando os limites do intervalo:
Portanto ambos
e
pertencem ao domínio e são raízes válidas de
.
Resposta
Domínio:
Raízes:
Raízes: