Resolva cada inequação:
2-x \leq \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2 - x \leq \frac{1}{x}.
Informações e restrições que temos:
  • A variável é x.
  • Há uma condição de domínio: não se pode ter x=0 porque \dfrac{1}{x} não está definida.
  • O objetivo é encontrar todos os x reais que satisfazem a inequação.

Passo 2

Vou passar tudo para um único membro, escrevendo a diferença entre os lados sobre um mesmo denominador. Subtraindo \dfrac{1}{x} de ambos os lados:
(2-x)-\frac{1}{x} \leq 0.
Coloco sobre o mesmo denominador x (lembrando que x\neq0):
\frac{(2-x)x - 1}{x} \leq 0.

Passo 3

Faço a multiplicação no numerador com calma:
(2-x)x = 2x - x^2,
então o numerador fica
2x - x^2 - 1.
Reescrevo esse polinômio de forma que fique evidente uma fatoração:
2x - x^2 - 1 = -x^2 + 2x - 1 = -(x^2 - 2x + 1).
Note que x^2 - 2x + 1 é um quadrado perfeito:
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.
Portanto o numerador é -(x-1)^2. Assim a inequação ficou
\frac{-(x-1)^2}{x} \leq 0.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por -1. Ao multiplicar por um número negativo, a inequação inverte o sentido. Então obtenho uma forma equivalente:
\frac{(x-1)^2}{x} \geq 0.

Passo 5

Agora faço uma análise de sinais do quociente \dfrac{(x-1)^2}{x}.
  • O numerador (x-1)^2 é sempre não negativo: (x-1)^2 \geq 0 para todo x, e só é igual a zero quando x=1.
  • O denominador é x, que pode ser positivo (quando x>0) ou negativo (quando x<0). Não podemos ter x=0.
Para que uma fração seja \geq 0, temos duas possibilidades:
  1. Numerador \geq 0 e denominador >0 (fração não negativa),
  2. Numerador =0 e denominador \neq 0 (a fração é zero).

Passo 6

Analiso as duas regiões:
  • Se x>0: o denominador é positivo e o numerador é \geq 0 sempre. Logo \dfrac{(x-1)^2}{x}\geq0 para todo x>0. Assim toda a parte x>0 satisfaz a inequação (incluindo x=1, que dá igualdade).
  • Se x<0: o denominador é negativo e o numerador é estritamente positiva (porque se x<0 então x\neq1, logo (x-1)^2>0). Assim a fração é negativa, ou seja \dfrac{(x-1)^2}{x}<0, o que não atende a condição \geq0. Portanto nenhum x<0 é solução.

Passo 7

Lembro que x=0 não é permitido (expressão indefinida). Portanto a solução completa é todos os x positivos:
x>0,
ou, em notação de intervalo, (0,\infty).
Como checagem rápida: peguei x=\tfrac{1}{2} (que é >0) e vejo 2-\tfrac{1}{2}=1{,}5 e \tfrac{1}{1/2}=2, e 1{,}5\le2 é verdadeiro. Para x=-1 (negativo) tenho 2-(-1)=3 e \tfrac{1}{-1}=-1, 3\le -1 é falso — consistente com a análise.

Resposta

(0,\infty)

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