Resolva cada inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações e restrições que temos:
- A variável é
. - Há uma condição de domínio: não se pode ter
porque não está definida. - O objetivo é encontrar todos os
reais que satisfazem a inequação.
Passo 2
Vou passar tudo para um único membro, escrevendo a diferença entre os lados sobre um mesmo denominador. Subtraindo
de ambos os lados:
Coloco sobre o mesmo denominador
(lembrando que
):
Passo 3
Faço a multiplicação no numerador com calma:
então o numerador fica
Reescrevo esse polinômio de forma que fique evidente uma fatoração:
Note que
é um quadrado perfeito:
Portanto o numerador é
. Assim a inequação ficou
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
. Ao multiplicar por um número negativo, a inequação inverte o sentido. Então obtenho uma forma equivalente:
Passo 5
Agora faço uma análise de sinais do quociente
.
- O numerador
é sempre não negativo: para todo , e só é igual a zero quando . - O denominador é
, que pode ser positivo (quando ) ou negativo (quando ). Não podemos ter .
Para que uma fração seja
, temos duas possibilidades:
- Numerador
e denominador (fração não negativa), - Numerador
e denominador (a fração é zero).
Passo 6
Analiso as duas regiões:
-
Se
: o denominador é positivo e o numerador é sempre. Logo para todo . Assim toda a parte satisfaz a inequação (incluindo , que dá igualdade). -
Se
: o denominador é negativo e o numerador é estritamente positiva (porque se então , logo ). Assim a fração é negativa, ou seja , o que não atende a condição . Portanto nenhum é solução.
Passo 7
Lembro que
não é permitido (expressão indefinida). Portanto a solução completa é todos os
positivos:
ou, em notação de intervalo,
.
Como checagem rápida: peguei
(que é
) e vejo
e
, e
é verdadeiro. Para
(negativo) tenho
e
,
é falso — consistente com a análise.