Encontre os valores de x reais tais que:
\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-13 x}<\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-6 x}

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-13 x}<\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-6 x}
e pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes que temos:
  • A base é \dfrac{1}{2}, que é positiva e menor que 1.
  • Os expoentes são as expressões \,x^{2}-13x e \,x^{2}-6x.
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Queremos o conjunto de todas as soluções reais que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado com calma):
  • Para uma base b com 0<b<1, a função b^{t} é estritamente decrescente em t. Em outras palavras, se u>v então
b^{u}<b^{v}.
Explicação curta e intuitiva: elevar um número entre 0 e 1 a expoentes maiores faz o resultado ficar menor. Exemplo numérico: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}.
Aplicação ao nosso caso: como a base \tfrac{1}{2} satisfaz 0<\tfrac{1}{2}<1, a desigualdade entre potências com essa base pode ser transformada em uma desigualdade entre os expoentes, com a ordem invertida. Assim
\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-13 x}<\left(\frac{1}{2}\right)^{x^{2}-6 x} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-13x>x^{2}-6x.

Passo 3

Agora simplificamos a desigualdade entre expoentes. Subtraindo x^{2} dos dois lados (isso é válido pois é a mesma expressão em ambos os lados) obtemos:
-13x>-6x.

Passo 4

Resolver a desigualdade linear em x. Somando 13x aos dois lados:
0>7x.
Dividindo por 7>0 (não inverte a desigualdade):
0>x,
ou seja
x<0.
Observação sobre o caso x=0: se x=0 então os dois expoentes coincidem ( 0), dando igualdade \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0}. Como a desigualdade é estrita, x=0 não pertence à solução.

Passo 5

Verificação rápida com valores:
  • Para x=-1: o lado esquerdo tem expoente 1+13=14 e o direito 1+6=7. Então \left(\tfrac{1}{2}\right)^{14}<\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7} — funciona.
  • Para x=1: o lado esquerdo tem expoente 1-13=-12 e o direito 1-6=-5. Então \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-12}>\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-5} — não satisfaz.
    Esses testes confirmam que a solução é x<0.

Resposta

x<0

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