Encontre os valores de
reais tais que:
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede: encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes que temos:
- A base é
, que é positiva e menor que . - Os expoentes são as expressões
e . - A incógnita é
. - Queremos o conjunto de todas as soluções reais que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado com calma):
- Para uma base
com , a função é estritamente decrescente em . Em outras palavras, se então
Explicação curta e intuitiva: elevar um número entre
e
a expoentes maiores faz o resultado ficar menor. Exemplo numérico:
.
Aplicação ao nosso caso: como a base
satisfaz
, a desigualdade entre potências com essa base pode ser transformada em uma desigualdade entre os expoentes, com a ordem invertida. Assim
Passo 3
Agora simplificamos a desigualdade entre expoentes. Subtraindo
dos dois lados (isso é válido pois é a mesma expressão em ambos os lados) obtemos:
Passo 4
Resolver a desigualdade linear em
. Somando
aos dois lados:
Dividindo por
(não inverte a desigualdade):
ou seja
Observação sobre o caso
: se
então os dois expoentes coincidem (
), dando igualdade
. Como a desigualdade é estrita,
não pertence à solução.
Passo 5
Verificação rápida com valores:
- Para
: o lado esquerdo tem expoente e o direito . Então — funciona. - Para
: o lado esquerdo tem expoente e o direito . Então — não satisfaz.
Esses testes confirmam que a solução é.