Encontre o conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
que satisfaçam as condições
e
l y2(1)=0 y2^prime(1)=1
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas y1(t)=52 e^-3(t-1)-32 e^-5(t-1) e y2(t)=12 e^-3(t-1)-12 e^-5(t-1) y1(t)=3 e^-2(t-1)-2 e^-3(t-1) e y2(t)=e^-2(t-1)-e^-3(t-1) y1(t)=4 e^-3(t-1)-3 e^-4(t-1) e y2(t)=e^-3(t-1)-e^-4(t-1) y1(t)=(1+3(t-1)) e^-3(t-1) e y2(t)=(t-1) e^-3(t-1) y1(t)=4 e^-3(t-1)-3 e^-4(t-1) e y2(t)=e^-3(t-1)-e^-4(t-1)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial:
y'' + 7y' + 12y = 0
Além disso, precisamos que essas soluções satisfaçam as condições iniciais dadas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos seguir passo a passo para encontrar as soluções desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
r^2 + 7r + 12 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para encontrar os valores de r.
Passo 3
Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 7 e c = 12. Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 49 - 48 = 1
Então, as raízes são:
r = -7 pm raiz12 = -7 pm 12
Isso nos dá duas raízes distintas:
r1 = -7 + 12 = -3 e r2 = -7 - 12 = -4
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^-3(t-1) + C2 e^-4(t-1)
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as soluções particulares [y_1(t)) e que satisfazem as seguintes condições:
Para :
Para (y_2(t)]:
Vamos determinar e para cada uma dessas soluções.
Passo 6
Primeiro, para [y_1(t)):
Aplicando :
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Somando com a segunda equação:
Substituindo (C_2] na primeira equação:
Então, a solução é:
Passo 7
Agora, para [y_2(t)):
Aplicando :
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Agora, temos outro sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, (C_1 = -C_2]. Substituindo na segunda: