Se z=f(u^2+v^2, u v), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada, expresse partial zpartial u em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Nós temos
z = fl(u^2+v^2,;u,vr),
onde definimos as variáveis internas
x = u^2+v^2 e y = u,v.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: como z depende de u indiretamente através de x e y.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a u:
partial xpartial u ;=;partialpartial u(u^2+v^2);=;2u,
partial ypartial u ;=;partialpartial u(u,v);=;v

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos
partial zpartial u =partial fpartial x(x,y),partial xpartial u +partial fpartial y(x,y),partial ypartial u
Agora basta substituir x = u^2+v^2, y = u,v, partial x/partial u = 2u e partial y/partial u = v:
partial zpartial u =partial fpartial x(u^2+v^2,;u,v),2u +partial fpartial y(u^2+v^2,;u,v),v

Resposta

partial zpartial u =2u,partial fpartial x(u^2+v^2,;u,v) +v,partial fpartial y(u^2+v^2,;u,v)

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