Encontre um conjunto de geradores para cada um dos espaços vetoriais abaixo
V=\left\{p(x)=a+b x+c x^{2} \in P_{2}(\mathbb{R}) ; a-\frac{b}{2}=c\right\};

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
V = \bigl\{\,p(x)=a + b\,x + c\,x^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid a - \tfrac{b}{2} = c\bigr\}.
O conteúdo aqui é entender como parametrizar um subespaço definido por uma relação linear entre os coeficientes e, a partir daí, extrair um sistema de vetores que gere esse espaço.

Passo 2

Da condição a - \tfrac{b}{2} = c temos
c = a - \tfrac{b}{2}.
Isso reduz o número de parâmetros independentes de três (a,b,c) para dois (a,b).

Passo 3

Substituindo c em p(x), obtemos
p(x) = a + b\,x + \bigl(a - \tfrac{b}{2}\bigr)x^{2} = a\,(1 + x^{2}) \;+\; b\!\Bigl(x - \tfrac{x^{2}}{2}\Bigr).
Logo
V = \Span\bigl\{\,1 + x^{2},\;x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr\}.

Passo 4

Para evitar frações, podemos multiplicar o segundo gerador por 2 sem alterar o espaço gerado. Assim ficamos com
V = \Span\bigl\{\,1 + x^{2},\;2x - x^{2}\bigr\}.

Resposta

Um conjunto de geradores de V é
\{\,1 + x^{2},\;2x - x^{2}\}.

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