Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=R^6 e F é o núcleo da matriz
(rrrrrr 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Temos o espaço ambiente E= R^6 e o subespaço F=ker(A), onde
A= 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1
O conteúdo aqui é núcleo de matriz, e vamos precisar resolver o sistema homogêneo A x=0 por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos o sistema A x=0 em termos das componentes x1,dots,x6:
x2 - x4 + x6 = 0
- x1 + x3 - x5 + x6 = 0
x1 - x3 + x5 + x6 = 0

Passo 3

Para eliminar variáveis, somamos a segunda e a terceira equações:
(- x1 + x3 - x5 + x6) + (x1 - x3 + x5 + x6) = 0
2,x6 = 0 implies x6 = 0

Passo 4

Com x6=0, da primeira equação vem x2 = x4, e tanto a segunda quanto a terceira reduzem a
x1 = x3 - x5

Passo 5

Identificamos as variáveis livres como x3, x4, x5. Definindo parâmetros
t = x3, s = x4, u = x5, obtemos
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (t - u,; s,; t,; s,; u,; 0)

Passo 6

Expressando como combinação linear dos vetores associados aos parâmetros:
(t - u,; s,; t,; s,; u,; 0) = t,(1,0,1,0,0,0) + s,(0,1,0,1,0,0) + u,(-1,0,0,0,1,0)

Resposta

Um conjunto de geradores para F=ker(A) é (1,0,1,0,0,0),,(0,1,0,1,0,0),,(-1,0,0,0,1,0).

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