Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=R^3, F=(x, y, z): 2 x+3 y-z=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores do subespaço vetorial F definido em E = ℝ³ pela equação 2x + 3y – z = 0. O conteúdo aqui é subespaço vetorial e teoria de conjuntos geradores: vamos parametrizar F e extrair vetores que o gerem.

Passo 2

Como F é dado por uma equação linear, toda tupla (x,y,z) ∈ F satisfaz 2x + 3y – z = 0. Podemos isolar z em função de x e y: z = 2x + 3y.

Passo 3

Então qualquer vetor de F é da forma (x,y,z) = (x,y,2x+3y). Podemos separar os parâmetros x e y: (x,y,2x+3y) = x·(1,0,2) + y·(0,1,3), onde x e y são escalares livres.

Passo 4

Isso mostra que os vetores (1,0,2) e (0,1,3) geram todo F, pois qualquer elemento de F é combinação linear deles.

Resposta

O conjunto de geradores para F é (1,0,2),,(0,1,3).

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