Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=R^3, F=(x, y, z): x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço vetorial F de E=ℝ³ definido pela equação x–y+z=0. O conteúdo é de subespaços vetoriais e como expressar soluções de equações lineares em forma paramétrica para extrair geradores.

Passo 2

Para resolver, começamos escrevendo a condição x–y+z=0 isolando uma das variáveis. Vamos isolar x em função de y e z:

Passo 3

Isolando x temos x=y–z. Então todo vetor (x,y,z)∈F pode ser escrito como (y–z, y, z).

Passo 4

Agora parametricamente definimos y=t e z=s, com t,s∈ℝ, de modo que
(x,y,z)=(ts,t,s)=t,(1,1,0)+s,(-1,0,1)
Isso mostra que F é gerado pelos vetores (1,1,0) e (−1,0,1).

Resposta

Um conjunto de geradores é { (1,1,0), (−1,0,1) } de modo que F=span{(1,1,0),(−1,0,1)}.

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