Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=R^5 e F é o núcleo da matriz
(rrrrr 1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & 2 & 1 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 3 & 1 )

Passo 1

A questão pede os geradores do subespaço F = ker A em E = ℝ⁵, onde A é a matriz 3×5 abaixo. O conteúdo é o núcleo de uma matriz, e vamos precisar usar eliminação de Gauss para encontrar a forma paramétrica das soluções de A x = 0.

Passo 2

Escrevendo A e começando a eliminação de Gauss:
A = 1 & 2 & 0 & -1 & 0 -1 & 2 & 1 & 3 & -1 2 & 0 & -1 & 3 & 1
Usamos a primeira linha para zerar abaixo:
– R₂ ← R₂ + R₁
– R₃ ← R₃ – 2 R₁
Fica
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 4 & 1 & 2 & -1 0 & -4 & -1 & 5 & 1

Passo 3

Continuando a eliminação na coluna 2:
– R₃ ← R₃ + R₂
Obtemos
1 & 2 & 0 & -1 & 0 0 & 4 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 7 & 0
Os pivôs estão em x₁, x₂ e x₄. Variáveis livres: x₃ = s e x₅ = t.

Passo 4

Agora resolvemos de baixo para cima:
Da terceira linha:
7x4 = 0 implies x4 = 0
Da segunda:
4x2 + x3 + 2x4 - x5 = 0 implies 4x2 = -s + t implies x2 = -s + t4
Da primeira:
x1 + 2x2 - x4 = 0 implies x1 = -2x2 = s - t2

Passo 5

Escrevendo a solução geral em função de s e t:
x = x1 x2 x3 x4 x5 = s 1/2 -1/4 1 0 0 + t -1/2 1/4 0 0 1
Para evitar frações, podemos multiplicar cada vetor por 4 e reparametrizar livremente.

Passo 6

Assim chegamos a um conjunto de geradores sem frações:
v1 = 2 -1 4 0 0, v2 = -2 1 0 0 4
Logo F = span{v_1, v_2}.

Resposta

Um conjunto de geradores de F é {(2,-1,4,0,0),😭-2,1,0,0,4)}.

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