Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais
abaixo:
e
é o núcleo da matriz
Passo 1
A questão pede os geradores do subespaço F = ker A em E = ℝ⁵, onde A é a matriz 3×5 abaixo. O conteúdo é o núcleo de uma matriz, e vamos precisar usar eliminação de Gauss para encontrar a forma paramétrica das soluções de A x = 0.
Passo 2
Escrevendo A e começando a eliminação de Gauss:
Usamos a primeira linha para zerar abaixo:
– R₂ ← R₂ + R₁
– R₃ ← R₃ – 2 R₁
Fica
Passo 3
Continuando a eliminação na coluna 2:
– R₃ ← R₃ + R₂
Obtemos
– R₃ ← R₃ + R₂
Obtemos
Os pivôs estão em x₁, x₂ e x₄. Variáveis livres: x₃ = s e x₅ = t.
Passo 4
Agora resolvemos de baixo para cima:
Da terceira linha:
Da terceira linha:
Da segunda:
Da primeira:
Passo 5
Escrevendo a solução geral em função de s e t:
Para evitar frações, podemos multiplicar cada vetor por 4 e reparametrizar livremente.
Passo 6
Assim chegamos a um conjunto de geradores sem frações:
Logo F = span{v_1, v_2}.
Resposta
Um conjunto de geradores de F é {(2,-1,4,0,0),😭-2,1,0,0,4)}.