Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogèneo A X=0 em que
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -2 & 6 \\\\ 1 & -2 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o espaço das soluções do sistema homogêneo A X = 0, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -2 & 6 \\\\ 1 & -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é a determinação de subespaços solução por eliminação de Gauss e expressão das variáveis livres em parâmetros.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss sobre A: primeiramente
R_2 \to R_2 - 3R_1,\quad R_3 \to R_3 - R_1
produz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida,
R_3 \to R_3 - 3R_2
leva a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Dessa forma temos pivôs em x_1 e x_2, e x_3,x_4 são livres. Das equações não nulas obtemos:
da segunda linha,
-\,x_2 + x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = x_3,
da primeira linha,
x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 + (x_3 - x_3) + 2x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = -2x_4.

Passo 4

Introduzindo parâmetros para as variáveis livres:
x_3 = s,\quad x_4 = t,
temos
x_1 = -2t,\quad x_2 = s.
Logo o vetor solução é
X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2t\s\s\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Um conjunto de geradores para o espaço solução é
\left\{\,(0,1,1,0)^\mathsf{T},\;(-2,0,0,1)^\mathsf{T}\right\}.

Exercícios relacionados