Questão 5 Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
(a) O determinante de uma matriz de um operador T diagonalizável é sempre o produto de seus auto-valores se todos os auto-valores forem distintos.
(b) Se o polinômio característico tem raízes repetidas, então o polinômio minimal também tem raízes repetidas.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se duas afirmações sobre operadores lineares são verdadeiras ou falsas: (a) que o determinante de um operador diagonalizável com todos os autovalores distintos é sempre o produto desses autovalores; (b) que, se o polinômio característico tem raízes repetidas, o polinômio minimal também as tem.

Passo 2

Para (a), note que se T é diagonalizável então existe P tal que P^{-1}TP=D é diagonal com entradas os autovalores \lambda_i. Como \det(T)=\det(D)=\prod_i\lambda_i, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para (b), basta contrapor com um operador diagonalizável cujo polinômio característico tem raiz repetida. Ex.: T=I_n tem \chi_T(x)=(x-1)^n mas seu polinômio minimal é m_T(x)=x-1, sem repetição. Logo, falso.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso

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