Questão 5 Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
(a)
determinante de uma matriz de um operador
diagonalizável é sempre o produto de seus auto-valores se todos os auto-valores forem distintos.
(b) Se o polinômio característico tem raízes repetidas, então o polinômio minimal também tem raízes repetidas.
(a)
(b) Se o polinômio característico tem raízes repetidas, então o polinômio minimal também tem raízes repetidas.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se duas afirmações sobre operadores lineares são verdadeiras ou falsas: (a) que o determinante de um operador diagonalizável com todos os autovalores distintos é sempre o produto desses autovalores; (b) que, se o polinômio característico tem raízes repetidas, o polinômio minimal também as tem.
Passo 2
Para (a), note que se
é diagonalizável então existe
tal que
é diagonal com entradas os autovalores
. Como
, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para (b), basta contrapor com um operador diagonalizável cujo polinômio característico tem raiz repetida. Ex.:
tem
mas seu polinômio minimal é
, sem repetição. Logo, falso.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(b) Falso