Verifique se o vetor Y^{\prime}=(3,2,4) é combinação linear dos vetores I_{i}=(1,1,2), I_{2}=(1,0,0) e I_{3}=(4,6,12)
Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogèneo A X=0 em que A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -2 & 6 \\\\ 1 & -2 & 2 & 2\end{array}\right].
Considere a matriz
a) Qual a dimensão do espaço linha e do espaço coluna de A ?
b) Encontre uma base para o espaço linha e uma base para para o espaço coluna de A.
Passo 1
O exercício tem três partes. Primeiro, verificar se \,Y'=(3,2,4) está no span de I_{1}=(1,1,2), I_{2}=(1,0,0) e I_{3}=(4,6,12), o que pede resolver um sistema para coeficientes escalares. Segundo, encontrar geradores do espaço solução de
calcular a dimensão do espaço linha e coluna (ou seja, o posto) por eliminação, e extrair bases para esses espaços a partir das linhas pivô e das colunas pivô.
Passo 2
Queremos c_{1}I_{1}+c_{2}I_{2}+c_{3}I_{3}=Y'. Isso dá o sistema
R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2}\Rightarrow(0,0,0,-2).
Ficamos com três linhas não-nulas em forma escalonada, logo o posto é 3.
Passo 7
Como o posto é 3, temos
a) \dim(\text{espaço linha})=3ç e \dim(\text{espaço coluna})=3ç.
b) Uma base para o espaço linha são as linhas não nulas da forma escalonada:
\{(1,-5,-4,4),\;(0,-1,0,-1),\;(0,0,0,-2)\}.
Uma base para o espaço coluna são as colunas de B que contêm pivôs (1ª, 2ª e 4ª colunas):
\{(1,-1,0),\,(-5,4,2),\,(4,-5,0)\}.
Resposta
Sim, Y' é combinação linear de I_{1},I_{2},I_{3}; por exemplo
Y'=2\,I_{1}+1\,I_{2}+0\,I_{3}.
O espaço solução de AX=0 é gerado por
\{(0,1,1,0),\,(-2,0,0,1)\}.
3a) \dim(\text{espaço linha})=3ç, \dim(\text{espaço coluna})=3ç.
3b) Base do espaço linha: \{(1,-5,-4,4),\,(0,-1,0,-1),\,(0,0,0,-2)\}.
Base do espaço coluna: \{(1,-1,0),\,(-5,4,2),\,(4,-5,0)\}.