Verifique se o vetor I^{\prime}=(3,2,4) é combinação linear dos vetores \Gamma_{i}=(1,1,2), \Gamma_{2}=(1,0,0) e \Gamma_{3}=(4,6,12)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor I'=(3,2,4) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \Gamma_1=(1,1,2), \Gamma_2=(1,0,0) e \Gamma_3=(4,6,12). O conteúdo envolvido é combinação linear: vamos buscar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,\Gamma_1 + \beta\,\Gamma_2 + \gamma\,\Gamma_3 = I'.

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica na forma de soma de coordenadas, temos
\alpha\,(1,1,2) + \beta\,(1,0,0) + \gamma\,(4,6,12) = (3,2,4).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} \alpha + \beta + 4\gamma = 3,\\\ \alpha + 6\gamma = 2,\\\\ 2\alpha + 12\gamma = 4. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos \alpha:
\alpha = 2 - 6\gamma.
A terceira equação é simplesmente 2 vezes a segunda, logo não traz informação nova.

Passo 4

Substituindo \alpha = 2 - 6\gamma na primeira equação, obtemos
(2 - 6\gamma) + \beta + 4\gamma = 3 \quad\Longrightarrow\quad \beta -2\gamma = 1 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 1 + 2\gamma.

Passo 5

O sistema é consistente para qualquer valor de \gamma, ou seja, há infinitas soluções. Para dar um exemplo simples, escolhemos \gamma=0. Então
\alpha = 2,\quad \beta = 1,\quad \gamma = 0.
Isto significa que
I' = 2\,\Gamma_1 + 1\,\Gamma_2 + 0\,\Gamma_3.

Resposta

Sim. Por exemplo,
I' = 2\,\Gamma_1 + \Gamma_2.

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