Mostre que as matrizes abaixo formam uma base de M22.
[cc 3 & 6 3 & -6 ], [cc 0 & -1 -1 & 0 ], [cc 0 & -8 -12 & -4 ], [cc 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A1=3 & 63 & -6, A2=0 & -1-1 & 0, A3=0 & -8-12 & -4, A4=1 & 0-1 & 2
formam uma base de M22. Sabendo que dim M22=4, basta mostrar que elas são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos identificar cada matriz Ai com um vetor viinR^4 pela leitura linha a linha:
v1=(3,6,3,-6), v2=(0,-1,-1,0), v3=(0,-8,-12,-4), v4=(1,0,-1,2)

Passo 3

Formamos a matriz MinR^4times4 cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
M= 3 & 0 & 0 & 1 6 & -1 & -8 & 0 3 & -1 & -12 & -1 -6 & 0 & -4 & 2

Passo 4

Calculamos detM por expansão ao longo da primeira linha. Chamando de B o menor obtido excluindo a primeira linha e primeira coluna, e de C o menor excluindo a primeira linha e quarta coluna, encontramos
det B=12, det C=-12,
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detM =3cdotdet B-1cdotdet C =3cdot12-1cdot(-12) =48neq0

Passo 5

Como detMneq0, os vetores v1,v2,v3,v4 são linearmente independentes em R^4. Isso implica que as matrizes A1,A2,A3,A4 são linearmente independentes em M22. Sendo quatro matrizes em um espaço de dimensão quatro, elas formam uma base.

Resposta

As quatro matrizes são linearmente independentes e, portanto, constituem uma base de M22.

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