- Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
e pede: encontrar um conjunto de geradores para
.
Informações relevantes dadas:
- A condição que define
é a equação linear . - O espaço ambiente é
. - O que se quer é um conjunto de vetores cujas combinações lineares geram exatamente
.
Passo 2
Vamos parametrizar a solução da equação linear
. Primeiro isolamos uma incógnita em função das outras; por exemplo isolo
:
Agora escolho parâmetros para as variáveis livres. Seja
o parâmetro para
e
o parâmetro para
. Assim:
Substituindo em
obtemos:
Passo 3
Escrevo o vetor genérico
em termos de
e
:
Agora fatoro
e
para ver a combinação linear:
Isto mostra que todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
. Logo
Passo 4
Mostro a inclusão oposta: qualquer combinação linear de
e
satisfaz a equação que define
. Seja
. Considero
Verifico
para este
:
Portanto
, e assim
Com isso concluímos que
Passo 5
Verifico se os dois vetores são linearmente independentes (para saber se o conjunto é também uma base). Suponha que existam
com
Isto dá o sistema
Da segunda equação vem
; substituindo na primeira obtemos
e então
. Assim
, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto são um conjunto gerador minimal (uma base) de
. Observação intuitiva: uma equação linear não-trivial em
define um plano que passa pela origem, logo a dimensão de
é
e precisamos de dois vetores independentes para gerá-lo.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova:
- Método prático: a partir da equação
resolva para uma variável em função das outras duas e introduza parâmetros; ao fatorar surgem automaticamente os vetores geradores. - Pode escolher qualquer variável para isolar; o conjunto final pode ter vetores diferentes (mas equivalentes por geração) dependendo da escolha dos parâmetros.
- Verifique independência resolvendo a combinação linear nula como fizemos acima.