1. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(a) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-2 y+3 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-2y+3z=0\}
e pede: encontrar um conjunto de geradores para W.
Informações relevantes dadas:
  • A condição que define W é a equação linear \,x-2y+3z=0.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^3.
  • O que se quer é um conjunto de vetores cujas combinações lineares geram exatamente W.

Passo 2

Vamos parametrizar a solução da equação linear \,x-2y+3z=0. Primeiro isolamos uma incógnita em função das outras; por exemplo isolo x:
x=2y-3z.
Agora escolho parâmetros para as variáveis livres. Seja s o parâmetro para y e t o parâmetro para z. Assim:
y=s,\qquad z=t.
Substituindo em x obtemos:
x=2s-3t.

Passo 3

Escrevo o vetor genérico (x,y,z) em termos de s e t:
(x,y,z)=(2s-3t,\; s,\; t).
Agora fatoro s e t para ver a combinação linear:
(2s-3t,\; s,\; t)=s(2,1,0)+t(-3,0,1).
Isto mostra que todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear dos vetores (2,1,0) e (-3,0,1). Logo
W\subseteq\operatorname{span}\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}.

Passo 4

Mostro a inclusão oposta: qualquer combinação linear de (2,1,0) e (-3,0,1) satisfaz a equação que define W. Seja s,t\in\mathbb{R}. Considero
v=s(2,1,0)+t(-3,0,1)=(2s-3t,\; s,\; t).
Verifico x-2y+3z para este v:
(2s-3t)-2(s)+3(t)=2s-3t-2s+3t=0.
Portanto v\in W, e assim
\operatorname{span}\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}\subseteq W.
Com isso concluímos que
W=\operatorname{span}\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}.

Passo 5

Verifico se os dois vetores são linearmente independentes (para saber se o conjunto é também uma base). Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} com
\alpha(2,1,0)+\beta(-3,0,1)=(0,0,0).
Isto dá o sistema
2\alpha-3\beta=0,
\alpha=0,
\beta=0.
Da segunda equação vem \alpha=0; substituindo na primeira obtemos -3\beta=0 e então \beta=0. Assim \alpha=\beta=0, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto são um conjunto gerador minimal (uma base) de W. Observação intuitiva: uma equação linear não-trivial em \mathbb{R}^3 define um plano que passa pela origem, logo a dimensão de W é 2 e precisamos de dois vetores independentes para gerá-lo.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Método prático: a partir da equação a_1x+a_2y+a_3z=0 resolva para uma variável em função das outras duas e introduza parâmetros; ao fatorar surgem automaticamente os vetores geradores.
  • Pode escolher qualquer variável para isolar; o conjunto final pode ter vetores diferentes (mas equivalentes por geração) dependendo da escolha dos parâmetros.
  • Verifique independência resolvendo a combinação linear nula como fizemos acima.

Resposta

\operatorname{span}\{(2,1,0),\,(-3,0,1)\}

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