Encontre um conjunto de polinômios que gera o subespaço de P3(R) constituído pelos polinômios que tem 2 e 4 como raízes.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de P3( R) formado pelos polinômios que têm 2 e 4 como raízes. O conteúdo é sobre subespaços de espaços de polinômios e vamos usar o fato de que, se p(2)=0 e p(4)=0, então (x-2)(x-4) divide p(x).

Passo 2

Como p(x)in P3( R) e tem 2 e 4 como raízes, há um polinômio q(x)in P1( R) tal que
p(x) = (x-2)(x-4),q(x)

Passo 3

Qualquer q(x)in P1( R) pode ser escrito como
q(x)=a x + b,
com a,bin R. Logo
p(x) = (a x + b),(x-2)(x-4)

Passo 4

Para obter um gerador, basta escolher uma base de P1( R), por exemplo ,x,,1. Assim tomamos:
p1(x) = 1cdot(x-2)(x-4) = x^2 -6x +8,
p2(x) = xcdot(x-2)(x-4) = x^3 -6x^2 +8x

Resposta

Um conjunto de geradores é
l,x^2 -6x +8,;x^3 -6x^2 +8xr

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