Seja V o espaço vetorial real de todas as funções com valores reais definidas na reta real. Demonstre que cada um dos seguintes subconjuntos de V é LI :
e^a x, x e^a x.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções reais f:RtoR e pede para mostrar que o subconjunto
e^a x,,x e^a x
é linearmente independente. Vamos usar a definição: mostrar que se existirem escalares alpha,betainR tais que
alpha e^a x + beta x e^a x = 0 forall xinR,
então necessariamente alpha=0 e beta=0.

Passo 2

Partindo da hipótese de combinação linear nula,
alpha e^a x + beta x e^a x = 0 forall xinR,
fatoramos e^a x:
e^a xl(alpha + beta xr)=0 forall xinR

Passo 3

Como e^a xneq0 para todo x, podemos dividir pela exponencial e obter
alpha + beta x = 0 forall xinR
Isso significa que o polinômio P(x)=alpha+beta x é identicamente zero, logo seus coeficientes são nulos:
beta=0 e alpha=0
Portanto, a única combinação linear que gera a função zero é a trivial.

Resposta

O conjunto e^a x,,x e^a x é linearmente independente.

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