Seja
o espaço vetorial real de todas as funções com valores reais definidas na reta real. Demonstre que cada um dos seguintes subconjuntos de
é LI :
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais
e pede para mostrar que o subconjunto
é linearmente independente. Vamos usar a definição: mostrar que se existirem escalares tais que
é linearmente independente. Vamos usar a definição: mostrar que se existirem escalares
então necessariamente
e
.
Passo 2
Partindo da hipótese de combinação linear nula,
fatoramos
:
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir pela exponencial e obter
Isso significa que o polinômio
é identicamente zero, logo seus coeficientes são nulos:
Portanto, a única combinação linear que gera a função zero é a trivial.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.