Encontre o conjunto-solução de cada uma das desigualdades a seguir :
3 x^2-2 x-11-4 x^2<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x^2-2x-11-4x^2<0
O conteúdo principal é inequações racionais: vamos fatorar numerador e denominador, identificar os pontos em que cada fator muda de sinal e montar o estudo de sinais para determinar onde o quociente é negativo.

Passo 2

Fatoramos separadamente numerador e denominador.
Fatorando o numerador:
3x^2-2x-1 = (x-1)(3x+1)
Fatorando o denominador:
1-4x^2 = (1-2x)(1+2x)

Passo 3

Identificamos os pontos críticos onde cada fator anula ou onde o denominador se anula (e fica indefinido):
– As raízes do numerador são x=1 e x=-tfrac13.
– Os zeros do denominador são x=tfrac12 e x=-tfrac12, que devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Para estudar o sinal do quociente, usamos os pontos críticos em ordem crescente:
-infty,;-tfrac12,;-tfrac13,;tfrac12,;1,;infty
Em cada intervalo avaliamos o sinal de cada fator e, assim, o sinal do quociente:
No intervalo (-infty,-tfrac12) temos
(x-1)<0, (3x+1)<0, (1-2x)>0, (1+2x)<0,
logo numerador >0, denominador <0 e quociente <0.
No intervalo (-tfrac12,-tfrac13) temos
(x-1)<0, (3x+1)<0, (1-2x)>0, (1+2x)>0,
logo numerador >0, denominador >0 e quociente >0.
No intervalo (-tfrac13,tfrac12) temos
(x-1)<0, (3x+1)>0, (1-2x)>0, (1+2x)>0,
logo numerador <0, denominador >0 e quociente <0.
No intervalo (tfrac12,1) temos
(x-1)<0, (3x+1)>0, (1-2x)<0, (1+2x)>0,
logo numerador <0, denominador <0 e quociente >0.
No intervalo (1,infty) temos
(x-1)>0, (3x+1)>0, (1-2x)<0, (1+2x)>0,
logo numerador >0, denominador <0 e quociente <0.

Passo 5

A inequação é satisfeita onde o quociente é negativo, excluindo as raízes do numerador (pois aí vale zero) e as raízes do denominador (indefinição). Portanto os intervalos válidos são
(-infty,-tfrac12), (-tfrac13,tfrac12) e (1,infty).

Resposta

(-infty,-tfrac12),cup,(-tfrac13,tfrac12),cup,(1,infty)

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