Encontre o conjunto-solução de cada uma das desigualdades a seguir :
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
O conteúdo principal é inequações racionais: vamos fatorar numerador e denominador, identificar os pontos em que cada fator muda de sinal e montar o estudo de sinais para determinar onde o quociente é negativo.
Passo 2
Fatoramos separadamente numerador e denominador.
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Passo 3
Identificamos os pontos críticos onde cada fator anula ou onde o denominador se anula (e fica indefinido):
– As raízes do numerador são e
.
– Os zeros do denominador são e
, que devem ser excluídos do domínio.
– As raízes do numerador são
– Os zeros do denominador são
Passo 4
Para estudar o sinal do quociente, usamos os pontos críticos em ordem crescente:
Em cada intervalo avaliamos o sinal de cada fator e, assim, o sinal do quociente:
No intervalo
temos
,
,
,
,
logo numerador , denominador
e quociente
.
logo numerador
No intervalo
temos
,
,
,
,
logo numerador , denominador
e quociente
.
logo numerador
No intervalo
temos
,
,
,
,
logo numerador , denominador
e quociente
.
logo numerador
No intervalo
temos
,
,
,
,
logo numerador , denominador
e quociente
.
logo numerador
No intervalo
temos
,
,
,
,
logo numerador , denominador
e quociente
.
logo numerador
Passo 5
A inequação é satisfeita onde o quociente é negativo, excluindo as raízes do numerador (pois aí vale zero) e as raízes do denominador (indefinição). Portanto os intervalos válidos são
,
e
.