Encontre o conjunto-solução de cada uma das desigualdades a seguir :
1x^2+1-1x^2-1 <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
1x^2+1-1x^2-1<= 2
O conteúdo aqui é inequação envolvendo funções racionais. Vamos precisar determinar o domínio, fazer a combinação de frações, e então analisar o sinal do resultado.

Passo 2

Determinamos o domínio eliminando valores que anulam denominadores:
,x^2+1neq0 (sempre verdade em R) e
,x^2-1neq0Rightarrow xneqpm1.
Logo o domínio é Rsetminuspm1.

Passo 3

Somamos as frações no lado esquerdo em um único quociente:
1x^2+1-1x^2-1 =(x^2-1)-(x^2+1)(x^2+1)(x^2-1) =-2x^4-1

Passo 4

A desigualdade fica
-2x^4-1<= 2 ;Longrightarrow; -2x^4-1-2<=0 ;Longrightarrow; -2-2(x^4-1)x^4-1<=0 ;Longrightarrow; -2x^4x^4-1<=0
Multiplicando ambos os lados por -1 (inverte o sinal) e dividindo por 2>0, obtém-se
x^4x^4-1>=0

Passo 5

Para dfracx^4x^4-1>=0:
– O numerador x^4>=0 e só zera em x=0. Em x=0 o valor da fração é 0/( -1)=0, que satisfaz “ >=0”.
– Para xneq0, o numerador é positivo, então a fração >=0 equivale a x^4-1>0, ou seja x^4>1, isto é |x|>1.
Como xneqpm1 pelo domínio, a solução é
x=0cupxmid |x|>1

Resposta

O conjunto-solução é
(-infty,-1),cup0,cup(1,infty)

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