Encontre o conjunto-solução de cada uma das desigualdades a seguir :
2 x^2-2 <= x^2+x <= 3 x+3

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto–solução da desigualdade composta
2x^2-2 ;<=; x^2+x ;<=; 3x+3
O que vamos usar é: para cada parte da cadeia, transformar em uma inequação quadrática, encontrar as raízes, fazer o estudo de sinal e depois intersectar os intervalos resultantes.

Passo 2

Começando pela parte à esquerda:
2x^2-2 <= x^2+x
isola-se tudo num mesmo lado:
2x^2-2 - (x^2+x) <= 0 ;Longrightarrow; x^2 - x - 2 <= 0
As raízes de x^2-x-2=0 são
x = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
isto é, x=-1 e x=2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e fica não–positiva entre as raízes. Logo esta parte dá
-1 <= x <= 2

Passo 3

Agora a parte à direita:
x^2+x <= 3x+3
novamente junta tudo num lado:
x^2+x - (3x+3) <= 0 ;Longrightarrow; x^2 - 2x - 3 <= 0
As raízes de x^2-2x-3=0 são
x = 2pmraiz4+122 = 2pm42,
ou seja, x=-1 e x=3. De novo, coeficiente positivo implica sinal não–positivo entre as raízes. Logo esta parte dá
-1 <= x <= 3

Passo 4

Para satisfazer as duas condições ao mesmo tempo, fazemos a interseção dos intervalos
[-1,2];cap;[-1,3] = [-1,2]

Resposta

[-1,2]

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