Encontre o conjunto solução de cada uma das desigualdades a seguir.
|x-2|-|x-4| <= 1-x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valores absolutos
|x-2|-|x-4|<=1-x
O conteúdo principal aqui é trabalhar com valor absoluto em diferentes regiões definidas pelos pontos em que os argumentos mudam de sinal, isto é, x=2 e x=4. Vamos, portanto, dividir o domínio em três casos e resolver em cada um.

Passo 2

Caso x<2.
Nesse intervalo temos
|x-2|=2-x, |x-4|=4-x,
logo o lado esquerdo vira
(2-x)-(4-x)=-2
A desigualdade fica
-2<=1-x
Resolvendo:
-2<=1-ximplies -2-1<= -ximplies -3<= -ximplies x<=3
Como estamos em x<2, a interseção é todo x<2.

Passo 3

Caso 2<= x<4.
Aqui
|x-2|=x-2, |x-4|=4-x,
então
|x-2|-|x-4|=(x-2)-(4-x)=2x-6
A desigualdade vira
2x-6<=1-ximplies 3x<=7implies x<=tfrac73
Dentro de 2<= x<4, isso dá 2<= x<=tfrac73.

Passo 4

Caso x>=4.
Agora
|x-2|=x-2, |x-4|=x-4,
logo
|x-2|-|x-4|=(x-2)-(x-4)=2
A desigualdade é
2<=1-ximplies 1<= -ximplies x<=-1,
que não encontra x>=4. Portanto não há solução neste caso.

Passo 5

Unindo os resultados obtidos:
  • Para x<2 vale toda essa região.
  • Para 2<= x<4 vale 2<= x<=tfrac73.
  • Para x>=4 não há ponto.
Somando, a solução é
(-infty,tfrac73]

Resposta

(-infty,tfrac73]

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