Encontre o conjunto solução de cada uma das desigualdades a seguir.
|x+1|-|x-2|>4;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valores absolutos
|x+1|-|x-2|>4
O conteúdo que vamos usar é a análise por regiões, escolhendo os pontos em que x+1 ou x-2 mudam de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal:
x+1=0implies x=-1, x-2=0implies x=2
Isso define três intervalos para fazermos a análise em cada um:
(-infty,-1), [-1,2), [2,infty)

Passo 3

Para x< -1 temos x+1<0 e x-2<0. Então
|x+1|=-(x+1), |x-2|=-(x-2),
logo
|x+1|-|x-2|=-(x+1)-l(-(x-2)r)=-x-1+x-2=-3
A desigualdade vira
-3>4,
que é sempre falsa. Portanto não há solução em (-infty,-1).

Passo 4

Para -1<= x<2 temos x+1>=0 e x-2<0. Assim
|x+1|=x+1, |x-2|=-(x-2),
e
|x+1|-|x-2|=(x+1)+(x-2)=2x-1
Queremos
2x-1>4 Longrightarrow 2x>5 Longrightarrow x> tfrac52
Mas esse resultado não se sobrepõe ao intervalo -1<= x<2. Logo não há solução em [-1,2).

Passo 5

Para x>=2 temos x+1>=0 e x-2>=0. Então
|x+1|=x+1, |x-2|=x-2,
e
|x+1|-|x-2|=(x+1)-(x-2)=3
A desigualdade fica
3>4,
que é sempre falsa. Logo não há solução em [2,infty).

Resposta

O conjunto solução é o conjunto vazio:
varnothing

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