Encontre o conjunto solução de cada uma das igualdades a seguir.
|2 x-1x+2|=|3 x+2x-4|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o conjunto solução da equação
|2x-1x+2| ;=;|3x+2x-4|
Esse é um caso de equação com valor absoluto de expressões racionais. Para resolver, vamos usar a propriedade
lvert Arvert=lvert Brvertiff A^2=B^2
e lembrar que o domínio exige xneq -2 e xneq 4.

Passo 2

Aplicando lvert Arvert=lvert Brvert com
A=2x-1x+2, B=3x+2x-4
temos
(2x-1)^2(x+2)^2 ;=;(3x+2)^2(x-4)^2
Multiplicando em cruz pelos denominadores não nulos, isso equivale a
(2x-1)^2,(x-4)^2 ;=;(3x+2)^2,(x+2)^2
Em vez de expandir tudo, usamos a ideia de diferença de quadrados:
(2x-1)(x-4)=pm(3x+2)(x+2)

Passo 3

Caso “ +”:
(2x-1)(x-4) ;=;(3x+2)(x+2)
Expandindo cada lado:
2x^2 -9x +4 ;=;3x^2+8x+4
Reorganizando tudo de um lado:
2x^2 -9x +4 ;-;(3x^2+8x+4)=0 Longrightarrow -x^2 -17x = 0 Longrightarrow x(x+17)=0
Dessa forma x=0 ou x=-17.

Passo 4

Caso “ -”:
(2x-1)(x-4) ;=;-,l((3x+2)(x+2)r)
Isso dá
2x^2 -9x +4 ;+;(3x^2+8x+4)=0 Longrightarrow 5x^2 -x +8 =0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 -4cdot5cdot8 = 1 -160 = -159 <0,
logo não há raízes reais nesse caso.

Passo 5

As únicas soluções reais obtidas foram x=0 e x=-17. Ambas respeitam o domínio ( xneq -2,4) e não geram denominador zero nem sinal trocado no módulo.

Resposta

O conjunto solução é -17,,0.

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