Encontre o conjunto solução de cada uma das desigualdades a seguir.
|2 x-4| >= 5 x-3;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
|2x-4|>=5x-3
O conteúdo usado aqui é a definição de valor absoluto (casos quando o interior é não-negativo ou negativo) e análise do sinal de 5x-3.

Passo 2

Primeiro, note que se 5x-3<=0 então 5x-3<=0<=|2x-4|, de modo que a desigualdade é automática.
5x-3<=0;Longrightarrow;x<=35
Logo, todo x<=35 faz a desigualdade valer.

Passo 3

Agora considere x>35, o que garante 5x-3>0. Precisamos então analisar os dois casos do valor absoluto:
Caso A. 2x-4>=0 (ou seja, x>=2).
Nesse caso |2x-4|=2x-4 e a desigualdade vira
2x-4>=5x-3;Longrightarrow;-4+3>=5x-2x;Longrightarrow;-1>=3x;Longrightarrow;x<= -tfrac13
Mas isso entra em contradição com x>=2. Logo, não há solução neste caso.
Caso B. 2x-4<0 (ou seja, x<2).
Aqui |2x-4|=4-2x e a desigualdade fica
4-2x>=5x-3;Longrightarrow;4+3>=5x+2x;Longrightarrow;7>=7x;Longrightarrow;x<=1
Combinando x<2 e x<=1 obtemos x<=1. Juntando ainda x>tfrac35, chega-se a
tfrac35<x<=1

Passo 4

Unindo todas as soluções:
  • para x<=35 a desigualdade vale sempre;
  • para tfrac35<x<=1 a desigualdade vale pelo caso B;
  • para x>1 não vale em nenhum dos subcasos.
    Logo o conjunto-solução é
(-infty,1] .

Resposta

(-infty,1]

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