Encontre o conjunto solução de cada uma das desigualdades a seguir.
|x-2x-4|>x+2x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-2x-4|>x+2x,
onde a expressão está definida para xneq0 e xneq4.
Conteúdo: resolução de desigualdade envolvendo valor absoluto e funções racionais. Vamos precisar analisar o sinal de x+2x e depois, quando for não-negativo, elevar ao quadrado para eliminar o valor absoluto.

Passo 2

Identificamos onde o lado direito é negativo:
x+2x<0 Long<=ftrightarrow x(x+2)<0 Long<=ftrightarrow -2<x<0
Nessa faixa temos x+2x<0 e l|tfracx-2x-4r|>=0, logo a desigualdade l|tfracx-2x-4r|>tfracx+2x vale para todo xin(-2,0).

Passo 3

Para as outras regiões, isto é x<=-2 ou x>0, temos tfracx+2x>=0 e podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x-2)^2(x-4)^2>(x+2)^2x^2 Long<=ftrightarrow x^2(x-2)^2-(x+2)^2(x-4)^2>0
Expandindo e simplificando, chega-se a
16l(x^2-2x-4r)>0 Long<=ftrightarrow x^2-2x-4>0 Long<=ftrightarrow x<1-raiz5;lor;x>1+raiz5

Passo 4

Agora intersectamos com as regiões onde tfracx+2x>=0:
  • Para x<=-2, o critério x<1-raiz5approx-1,236 engloba todo x<=-2.
  • Para x>0, ficamos com x>1+raiz5.
    Unindo tudo ao resultado do passo 2, obtemos como solução
(-infty,0);cup;(1+raiz5,4);cup;(4,infty),
lembrando que excluímos os pontos x=0 e x=4.

Resposta

(-infty,0);cup;(1+raiz5,4);cup;(4,infty)

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