Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sum (-1)^n 3 n-12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Série Alternada para verificar se a série abaixo converge ou diverge:
sum (-1)^n (3n - 1)2n + 1
Aqui, estamos trabalhando com Séries Alternadas, que são aquelas onde os termos mudam de sinal a cada passo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Série Alternada e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma:
sum (-1)^n an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência an é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero:
limn to infty an = 0
Se essas duas condições forem verdadeiras, então a série alternada converge.

Passo 3

Agora, vamos identificar o an na nossa série:
an = 3n - 12n + 1
Primeiro, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito.

Passo 4

Calcular o limite de an :
limn to infty 3n - 12n + 1
Para resolver isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
limn to infty 3n2n = 32
Então,
limn to infty an = 32

Passo 5

Segundo o Teste da Série Alternada, para a série convergir, precisamos que:
limn to infty an = 0
Mas vimos que:
limn to infty an = 32 neq 0

Resposta

Como o limite de an não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge.
Resposta Final: A série sum (-1)^n (3n - 1)2n + 1 diverge.

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