Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Série Alternada para verificar se a série abaixo converge ou diverge:
Aqui, estamos trabalhando com Séries Alternadas, que são aquelas onde os termos mudam de sinal a cada passo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Série Alternada e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero:
Se essas duas condições forem verdadeiras, então a série alternada converge.
Passo 3
Agora, vamos identificar o
na nossa série:
Primeiro, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Calcular o limite de
:
Para resolver isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
Então,
Passo 5
Segundo o Teste da Série Alternada, para a série convergir, precisamos que:
Mas vimos que:
Resposta
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série diverge.
Resposta Final: A série
diverge.